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相关试卷

1、在复平面内，复数 $9 i (8 + 5 i)$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2、设集合 $A = {x |\ln x < 1}$ ， $B = {x |- 1 \leq x \leq 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x |- 1 \leq x < 1}$ B、 ${x |- 1 \leq x < e}$ C、 ${x |0 < x \leq 1}$ D、 ${x |0 < x < e}$

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3、已知 $f (x) = 2 x \ln x + a x^{2} + b$ 在点 $(1, f (1))$ 处与 $x$ 轴相切.

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、若 $m > n > 0$ ，求证 $\sqrt{m n} < \frac{m - n}{\ln m - \ln n}$ .

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4、已知函数 $f (x) = e^{x} + e^{- x}$ ，则 $f (x) =$ （）

A、是偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 上是增函数 B、是偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 上是减函数 C、是奇函数，且在 $(0, + \infty)$ 上是增函数 D、是奇函数，且在 $(0, + \infty)$ 上是减函数

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5、已知函数 $f (x) = x - 2 ln x + \frac{a}{x}$ ．

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $x \geq 1$ 时，不等式 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、证明： $ln n < \frac{1}{\sqrt{2^{2} - 2}} + \frac{1}{\sqrt{3^{2} - 3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{n^{2} - n}}$ ．

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6、已知函数 $f (x) = x e^{x}$ ， $g (x) = x + a ln x + 1$ ．

(1)、求 $y = f (x)$ 的极值；

(2)、讨论 $g (x)$ 的单调性；

(3)、若 $a = 1$ 且 $x \in (0, + \infty)$ 时，求证 $g (x) \leq f (x)$ ．

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7、在如图所示的几何体中，四边形 $A B C D$ 是正方形，四边形 $A D P Q$ 是梯形， $P D // Q A, ∠ P D A = \frac{π}{2}$ ， $C D ⊥$ 平面 $A D P Q$ ，且 $A D = P D = 2 Q A = 2$ .

(1)、求证： $Q B //$ 平面 $P D C$ ；

(2)、 $P C$ 与平面 $P B Q$ 所成角的正弦值.

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8、在数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{n + 1} = 3 a_{n} - 2, a_{1} = 4$ .

(1)、证明： $\{a_{n} - 1\}$ 是等比数列；

(2)、若 $b_{n} = \{\begin{array}{l} a_{n}, n 为奇数 \\ {log}_{3} (a_{n} - 1), n 为偶数 \end{array}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ .

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9、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} = 3$ ， $a_{7} = 8$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式及前n项和S_n；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求证：数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} < \frac{1}{2}$ .

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10、某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 $20 dm \times 12 dm$ 的长方形纸，对折1次共可以得到 $10 dm \times 12 dm$ ， $20 dm \times 6 dm$ 两种规格的图形，它们的面积之和 $S_{1} = 240 {dm}^{2}$ ，对折2次共可以得到 $5 dm \times 12 dm$ ， $10 dm \times 6 dm$ ， $20 dm \times 3 dm$ 三种规格的图形，它们的面积之和 $S_{2} = 180 {dm}^{2}$ ，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折 $n$ 次，那么 $\sum_{k = 1}^{n} S_{k} =$ ${dm}^{2}$ .

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + \frac{1}{2} a_{2} + \frac{1}{2^{2}} a_{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{2^{n - 1}} a_{n} = n$ ， $n \in N^{*}$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} =$ ．

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12、若函数 $f (x) = \sin x$ 的图象在点 $(0, 0)$ 处的切线方程为．

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13、已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ，则下列说法中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最大值是 $\frac{1}{e}$ B、 $f (2) < f (π) < f (3)$ C、对任意两个正实数 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} > x_{2}$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $x_{1} + x_{2} \geq 2 e$ D、若关于 $x$ 的方程 ${[f (x)]}^{2} + m f (x) + m = 0$ 有3个不等实数根，则 $m$ 的取值范围是 $(- \frac{1}{e^{2} + e}, 0)$

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14、下列选项正确的是（）

A、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n} = \frac{1}{4} n^{2} + \frac{2}{3} n + 3$ ．则该数列的通项公式为 $a_{n} = \frac{1}{2} n + \frac{5}{12}$ ． B、若数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，则 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 为等差数列 C、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列， $a_{2} = 2$ ， $a_{5} = \frac{1}{4}$ ，令 $T_{n} = a_{1} \cdot a_{2} + a_{2} \cdot a_{3} + \dots + a_{n} \cdot a_{n + 1}$ ，则 $T_{n} =$ $\frac{32}{3} \cdot (1 - \frac{1}{4^{n}})$ D、若数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{n^{3}}{3^{n}}$ ，则当 $n = 3$ 时， $a_{n}$ 取得最大值.

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15、已知函数 $f (x) = - x^{3} + 3 x^{2}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(0, 1)$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处有极大值 C、若 $f (x)$ 在 $(1, m)$ 上不单调，则 $m > 2$ D、若 $f (x)$ 在区间 $(- 1, m)$ 上有最小值，则 $0 < m \leq 3$

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16、给出定义：设 $f^{'} (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的导函数， $f^{″} (x)$ 是函数 $y = f^{'} (x)$ 的导函数，若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x = x_{0}$ ，则称 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 为函数 $y = f (x)$ 的“拐点”．经研究发现所有的三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ 都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 $y = f (x)$ 的图象的对称中心．若函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ ，则 $f (\frac{1}{2022}) + f (\frac{2}{2022}) + f (\frac{3}{2022}) + \cdot \cdot \cdot + f (\frac{4042}{2022}) + f (\frac{4043}{2022})$ 的和为（）

A、 $- 8088$ B、 $- 8086$ C、 $- 8084$ D、 $- 8080$

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17、已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_{6} > S_{7} > S_{5}$ ，有下列四个命题，其中正确的是（）

A、 $d > 0$ B、 $S_{11} > 0$ C、 $S_{12} < 0$ D、数列 $\{S_{n}\}$ 中的最大项为 $S_{11}$

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18、若函数 $y = ln x + \frac{1}{2} x^{2} - a x$ 有极值点，那么实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, + \infty)$ B、 $[2, + \infty)$ C、 $(- \infty, 2) \cup (2, + \infty)$ D、 $(2, + \infty)$

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19、已知函数 $f (x) = a e^{x} - x$ 的单调递增区间为 $[0, + \infty)$ ，则 $a$ 的值为（）

A、3 B、2 C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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20、如图所示的平面直角坐标系中，是一个模拟某旅游地区的 $(n + 1) \times (n + 1)$ 格点图，共有 ${(n + 1)}^{2}$ 个格点.阴影区域 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 分别是该城市两大著名景区，阴影部分内的格点代表景区内的景点.游客在格点之间必须乘坐观光车，从格点 $A (0, 0)$ 出发，最后到达终点 $B (n, n)$ ，游客经过阴影区域中的格点都会进行游览.观光车只能在图中格点的连线上行驶，且整个过程将以最小行驶距离到达终点.

(1)、当 $n = 3$ 时，求一辆观光车从 $A$ 点到 $B$ 点会经过格点 $(2, 1)$ 的路线总数；

(2)、已知一个由 $m$ 个 $+ 1$ 和 $m$ 个 $- 1$ 构成的含有 $2 m$ 项的序列： $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{2 m}$ ，满足任意前 $k$ 项和 $\sum_{i = 1}^{k} a_{i} \geq 0 (1 \leq k \leq 2 m)$ .序列个数为 $C_{2 m}^{m} - C_{2 m}^{m - 1}$ .
（i）当 $n = 4$ 时，某游客游览了7个景点，求他游览的路线总数；
（ii）设某游客游览了两个景区各至少1个景点的路线总数为 $Q_{n}$ ，求证：当 $n \geq 5$ 时， $168 \times {(\frac{19}{5})}^{n - 5} \leq Q_{n} \leq \frac{21}{2} \times 4^{n - 3}$ .

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