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相关试卷

1、已知 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m / / α$ ， $m / / β$ ，则 $α / / β$ C、若 $α \cap β = n$ ， $m / / α$ ， $m / / n$ ，则 $m / / β$ D、若 $m, n$ 为异面直线，且 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $α \cap β = l$ ，则l与m，n中至少一条相交

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2、在 $△ A B C$ 中，已知 $a, b, c$ 分别为三个内角 $A, B, C$ 的对边， $a^{2} - c^{2} = a b - b^{2}$ ，则 $C =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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3、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} + \vec{b} = (2, 3)$ ， $\vec{a} - \vec{b} = (- 2, 1)$ ，则 ${|\vec{a}|}^{2} - {|\vec{b}|}^{2} =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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4、若复数 $z$ 满足 $\frac{z}{2 - i} = 2 i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 4$ B、 $- 4 i$ C、4 D、 $4 i$

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5、已知 $F$ 是抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点，过 $C$ 上点 $A (4, 2)$ 的切线交 $y$ 轴于点 $G$ ，过点 $G$ 的直线与 $C$ 交于 $B, D$ 两点.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、比较 ${|G A|}^{2}$ 与 $|G B| \cdot |G D|$ 的大小，并说明理由；

(3)、过点 $F$ 的直线与 $C$ 交于 $P, Q$ 两点， $T (0, 2 \sqrt{2})$ ， $P T$ ， $Q T$ 的延长线分别交 $C$ 于 $M, N$ 两点，求点 $A$ 到直线 $M N$ 距离的最大值.

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6、某学校有 $A$ 、 $B$ 两家餐厅，某同学每天都会在这两家餐厅中选择一家餐厅用晚餐.已知该同学第一天随机选择一家餐厅用晚餐，若在前一天选择去 $A$ 餐厅的条件下，后一天继续选择 $A$ 餐厅的概率为 $\frac{1}{3}$ ；而在前一天选择去 $B$ 餐厅的条件下，后一天继续选择去 $B$ 餐厅的概率为 $\frac{3}{5}$ ，如此往复.

(1)、求该同学第一天和第二天都选择去 $A$ 餐厅用晚餐的概率；

(2)、求该同学第二天选择去 $A$ 餐厅用晚餐的概率；

(3)、记该同学第 $n$ 天选择去 $A$ 餐厅用晚餐的概率为 $P_{n}$ ，求 $\{P_{n}\}$ 的通项公式.

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7、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 中，顶点 $P$ 在底面 $A B C D$ 上的射影 $H$ 落在线段 $A C$ 上（不含端点）， $A D ∥ B C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 2$ ， $B C = 2 A D = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、求证： $B D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若二面角 $A - B C - P$ 的大小为 $α$ ，直线 $P C$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $β$ ，求 $\frac{tan α}{tan β}$ 的值.

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8、已知函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} - b x + a^{2} (a, b \in R)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处有极值 $10$ ，求 $b$ 的值；

(2)、对任意 $a \in [- 1, + \infty)$ ， $f (x)$ 在 $[- 2, 0]$ 上单调递增，求 $b$ 的最大值.

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9、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $S$ .已知 $S = \frac{\sqrt{3}}{4} (b^{2} + c^{2} - a^{2})$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、求函数 $f (x) = sin (2 x - A) - sin (2 x + B + C)$ 在 $[0, π]$ 上的单调递增区间.

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10、在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = 2$ ， $A C = 3$ ， $P$ 为 $△ A B C$ 内一点，且 $A P = 1$ .若 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $2 λ + 3 μ$ 的最大值为.

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11、已知 $P$ 为一个圆锥的顶点， $P A$ 是母线， $P A = 2$ ，该圆锥的底面半径为 $\sqrt{3}$ . $B$ 、 $C$ 分别在圆锥的底面上，则异面直线 $P A$ 与 $B C$ 所成角的最小值为.

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12、圆 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 5$ 被 $x$ 轴截得的弦长为．

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13、我们把 $cosh x$ 称为双曲余弦函数，其函数表达式为 $cosh x = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，相应地双曲正弦函数的函数表达式为 $sinh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ .若直线 $x = m$ 与双曲余弦函数 $C_{1}$ 曲线和双曲正弦函数 $C_{2}$ 曲线分别相交于点 $A, B$ ，曲线 $C_{1}$ 在点 $A$ 处的切线与曲线 $C_{2}$ 在点 $B$ 处的切线相交于点 $P$ ，则（）

A、 $y = sinh x cosh x$ 是奇函数 B、 $cosh (x + y) = cosh x cosh y - sinh x sinh y$ C、 $|B P|$ 在 $(- \infty, 0)$ 随 $m$ 的增大而减小，在 $(0, + \infty)$ 随 $m$ 的增大而增大 D、 $△ P A B$ 的面积随 $m$ 的增大而减小

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14、已知 $F$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的右焦点， $P (m, n)$ 是 $C$ 上的一个动点，则下列说法正确的是（）

A、椭圆 $C$ 的长轴长是2 B、 $|P F|$ 的最大值是 $2 + \sqrt{3}$ C、 $△ O F P$ 的面积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，其中 $O$ 为坐标原点 D、直线 $x + y + t = 0$ 与椭圆 $C$ 相切时， $t = \pm \sqrt{5}$

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15、下列说法正确的是（）

A、有一组数 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $5$ ，这组数的第 $75$ 百分位数是 $3$ B、在 $α = 0.01$ 的独立性检验中，若 $χ^{2}$ 不小于 $α$ 对应的临界值 $x_{0.01}$ ，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过 $0.01$ C、随机变量 $X ~ B (n, p)$ ，若 $E (X) = 60$ ， $D (X) = 20$ ，则 $n = 180$ D、以 $\hat{y} = c e^{k x}$ 拟合一组数据时，经 $z = ln y$ 代换后的经验回归方程为 $\hat{z} = 0.2 x + 0.3$ ，则 $c = e^{0.3}$ ， $k = 0.2$

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16、已知 $13^{7} < 21^{6}$ ， $34^{6} < 21^{7}$ ，设 $a = {log}_{34} 21$ ， $b = {log}_{21} 13$ ， $c = {log}_{13} 8$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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17、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ .若直线 $3 x + 2 y = 0$ 与 $C$ 没有公共点，则 $C$ 的离心率的范围为（）

A、 $(1, \frac{\sqrt{13}}{2})$ B、 $(0, \frac{\sqrt{13}}{2})$ C、 $(1, \frac{\sqrt{13}}{2}]$ D、 $[\frac{\sqrt{13}}{2}, + \infty)$

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18、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} {(\frac{1}{2})}^{x}, x \leq 0 \\ {log}_{2} x, x > 0 \end{array}$ ，则 $f [f (\frac{1}{4})] =$ （）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $4$ D、 $16$

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19、在复平面内，复数 $z$ 对应的向量 $\vec{O Z} = (1, 2)$ ，则 $|z - 3| =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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20、已知集合 $A = \{x |1 < x < 3\}$ ， $B = \{x |x < a\}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 3)$ B、 $(- \infty, 3]$ C、 $(3, + \infty)$ D、 $[3, + \infty)$

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