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相关试卷

1、已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边， $b = a \cos C + \frac{\sqrt{3}}{3} a \sin C$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2, b + c \geq 4$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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2、已知不共线的向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 3, | \vec{b} | = 2, \vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $θ$ .

(1)、若 $θ = 60^{\circ}$ ，求 $|\vec{a} + \vec{b}|$ 的值；

(2)、若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，求 $cos θ$ 的值.

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3、对于三角形 $A B C$ 形状的判断，以下说法正确的有：
①若 $\frac{a}{b} = \frac{\cos B}{\cos A}$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形；
②若 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = \vec{B C} \cdot \vec{C A} = \vec{C A} \cdot \vec{A B}$ ，则 $△ A B C$ 为等边三角形．
③ $\sin A = \cos B$ ，则 $△ A B C$ 为直角三角形．
④若 $△ A B C$ 平面内有一点 $O$ 满足： $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，且 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = |\vec{O C}|$ ，则 $△ A B C$ 为等边三角形
⑤若 $\sin^{2} A + \sin^{2} B + \cos^{2} C < 1$ ，则 $△ A B C$ 为钝角三角形．

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4、设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $b^{2} + c^{2} + b c = a^{2}$ ，若角 $A$ 的内角平分线 $A D = 2$ ，则 $\vec{B A} \cdot \vec{A C}$ 的最小值为（）

A、8 B、4 C、16 D、12

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5、已知角 $α$ 终边在第二象限，且 $\tan α = - \frac{4}{3}$ ，则 $\sqrt{1 + \sin 2 α} + \sqrt{2 - 2 \cos 2 α}$ 的值为（）

A、1 B、 $\frac{7}{5}$ C、 $\frac{9}{5}$ D、 $\frac{13}{5}$

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6、在如图 $△ A B C$ 中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $\frac{1}{4} \vec{A B} - \frac{3}{4} \vec{A C}$ B、 $- \frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ C、 $\frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ D、 $- \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$

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7、下列命题正确的是（）

A、单位向量都相等 B、若 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ C、零向量没有方向 D、模为0的向量与任意非零向量共线

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8、已知复数 $z$ 满足 $i z = 3 + 2 i ，$ 则其共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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9、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $c = 4, C = \frac{π}{3}$ ， $sin B cos A = sin 2 A$ ，且 $b^{2} + c^{2} \neq a^{2}$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 的外接圆直径为 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ B、 $b = 2 a$ C、 $△ A B C$ 的面积为 $3$ D、 $△ A B C$ 的周长为 $4 + 4 \sqrt{3}$

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10、对于定义域为R的函数 $f (x)$ 以及非空数集S：若对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ ，当 $x_{1} - x_{2} \in S$ 时，都有 $f (x_{1}) - f (x_{2}) \in S$ ，则称 $f (x)$ 是S关联的.

(1)、设 $f (x) = 2 x + 1$ ，写出符合条件的三个开区间 $(m, n)$ ，使得 $f (x)$ 是 $(m, n)$ 关联的；

(2)、设 $f (x) = a x^{2} + b x + 1$ ，若存在一个闭区间 $[m, n]$ （ $m < n$ ）使得 $f (x)$ 是 $[m, n]$ 关联的，求 $f (x)$ ；

(3)、证明： $f (x)$ 是 $[1, 2]$ 关联的等价于 $f (x)$ 是 $[1, 2025]$ 关联的.

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11、已知向量 $\vec{m} = (\sin (\frac{π}{4} + x), \sqrt{3} \sin x)$ ， $\vec{n} = (\sin (\frac{π}{4} - x), \cos x)$ ，设函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期：

(2)、若 $f (\frac{π}{12} + \frac{α}{2}) = - \frac{2}{3}$ ，且 $\frac{5 π}{6} < α < π$ ，求 $\sin α$ 的值；

(3)、在 $△ A B C$ 中，若 $f (\frac{A}{2}) = 1$ ，求 $\sin B + \sin C$ 的取值范围.

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12、如图，在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $O, G$ 分别是线段 $A C, P A$ 的中点， $E, F$ 分别在线段 $B P, B C$ 上，且 $\frac{B E}{B P} = \frac{B F}{B C}$ ．

(1)、证明： $O, G, E, F$ 四点共面．

(2)、证明： $P C / /$ 平面 $B D G$ ．

(3)、若点 $H$ 在线段 $P D$ 上，且满足 $P H = 4 H D$ ，试问侧棱 $P C$ 上是否存在一点 $K$ ，使得 $B K / /$ 平面 $H A C$ ？若存在，求出 $\frac{P K}{P C}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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13、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A P = A B = A D = 2$ ， $E$ 是侧棱 $P B$ 的中点.

(1)、证明： $A E ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求异面直线 $A E$ 与 $P D$ 所成的角；

(3)、求直线 $A B$ 到平面 $P C D$ 的距离.

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14、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A E} = \vec{E B}$ ， $\vec{B D} = 3 \vec{B F}$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ．

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{A C}$ ， $\vec{A F}$ ．

(2)、证明： $E$ ， $F$ ， $C$ 三点共线．

(3)、若 $A B = 3$ ， $A D = 2$ ， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ，求 $\vec{A C} \cdot \vec{E F}$ ．

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15、已知某圆台轴截面的周长为 $6 \sqrt{2} + 4$ ，母线与底面成 $45^{\circ}$ 角，圆台的高为 $\sqrt{2}$ ，该圆台的体积为．

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16、已知扇形的半径为r，弧长为l，若其周长为6，当该扇形面积最大时，其圆心角为 $α$ ，则 $cos (cos \frac{2025 π}{α}) + sin (sin \frac{2025 π}{α}) =$ ．

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17、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} + \vec{b} = (1, - 2)$ ， $\vec{a} - \vec{b} = (5, 8)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ．

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18、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点 $M$ 为 $B C$ 的中点，点 $P$ 为正方形 $A D D_{1} A_{1}$ 内（包含边界）的动点，则下列说法正确的是（）

A、点 $A_{1}, B_{1}, D, M$ 四点共面 B、几何体 $M - A_{1} B_{1} B A$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ C、存在唯一的点 $P$ ，使 $M P / /$ 平面 $A C D_{1}$ D、平面 $A_{1} D_{1} P / /$ 平面 $M C C_{1}$

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19、已知函数 $f (x) = sin x$ ， $g (x) = cos x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (g (x))$ 为奇函数 B、 $g (f (x))$ 为偶函数 C、 $f (g (x))$ 在 $[0, π]$ 上仅有1个零点 D、 $g (f (x))$ 的最小正周期为 $π$

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20、下列说法正确的是（）

A、在△ABC中， $\vec{B D} = \frac{1}{2} \vec{D C}$ ， E为AC的中点，则 $\vec{D E} = \frac{1}{6} \vec{A C} - \frac{2}{3} \vec{A B}$ B、已知 $\vec{a} = (1, - 2), \vec{b} = (λ, 1)$ ，若 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角是钝角，则 $λ < 2$ C、在边长为4的正方形ABCD中，点E在边BC上，且 $B E = 3 E C$ ，点F是CD中点，则 $\vec{A E} \cdot \vec{B F} = 4$ D、在△ABC中，若 $\overset{⇀}{A B}$ 与 $\overset{⇀}{A C}$ 满足 $(\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，则△ABC是等腰三角形

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