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相关试卷

1、勒洛三角形是一种定宽曲线，它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形 $A B C$ 的边长为4，则勒洛三角形的面积为（）

A、 $4π - \sqrt{3}$ B、 $4π - 2 \sqrt{3}$ C、 $8π - \sqrt{3}$ D、 $8π - 8 \sqrt{3}$

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2、已知函数 $f (x) = 3 x^{2} - k x + 2$ 在 $[- 1, 2]$ 上具有单调性，则k的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 12] \cup [6, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 6] \cup [12, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 3] \cup [6, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 6] \cup [3, + \infty)$

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3、已知 $l$ ， $m$ ， $n$ 是三条不重合的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（）

A、若 $l ∥ m, m \subset α$ ，则 $l ∥ α$ B、若 $l \subset α, m \subset α, l ∥ β, m ∥ β$ ，则 $α ∥ β$ C、若 $l ∥ α, l ∥ β$ ，则 $α ∥ β$ D、若 $α ∥ β, β ∥ γ$ ，则 $α ∥ γ$

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4、“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明•《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是 ${(1 + 1 %)}^{365} = {1.01}^{365}$ ；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是 ${(1 - 1 %)}^{365} = {0.99}^{365}$ .那么大约经过（）天后“进步”的是“退步”的2倍.请选出最接近的一项.（ $\lg 2 \approx 0.301030$ ， $\lg 101 \approx 2.004321$ ， $\lg 99 \approx 1.995635$ ）（）

A、25 B、30 C、35 D、40

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5、若 $\{\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}\}$ 是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（）

A、 $\{\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}, \vec{e_{2}} - \vec{e_{1}}\}$ B、 $\{\vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}, \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}\}$ C、 $\{2 \vec{e_{2}} - 3 \vec{e_{1}}, 6 \vec{e_{1}} - 4 \vec{e_{2}}\}$ D、 $\{2 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}} ， \vec{e_{1}} - \frac{1}{2} \vec{e_{2}}\}$

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6、已知正数a，b满足 $\frac{1}{a} + b = 2$ ，则 $\frac{b}{a}$ 的最大值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7、已知 $a \in R$ ，复数 $z = (3 - a i) (1 + i)$ 为纯虚数，则 $| a - 5 + \bar{z} | =$ （）

A、5 B、8 C、10 D、12

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8、已知集合 $A = \{x |1 < x < 6\}$ ， $A \cup B = \{x |x < 6\}$ ，则B可能为（）

A、 $\{x |x < 0\}$ B、 $\{x |x < 1\}$ C、 $\{x |x < 3\}$ D、 $\{x |x < 7\}$

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9、已知函数 $f (x) = \ln x + a x^{2} - b x$ ．

(1)、当 $a = 1$ ， $b = 3$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处取得极值 $\ln 2$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程．

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10、有款小游戏．规则如下：一小球从数轴上的原点O出发，通过扔骰子决定向左或者向右移动，扔出骰子，若是奇数点向上，则向左移动一个单位．若是偶数点向上，则向右移动一个单位，则扔出n次骰子后，下列结论正确的是（）

A、第二次扔骰子后，小球位于原点O的概率为 $\frac{1}{2}$ B、第一次扔完骰子小球位于－1且第五次位于1的概率 $\frac{1}{4}$ C、设三次后小球的坐标为随机变量X，则 $D (X) = 3$ D、设n次后小球的坐标为随机变量Y，则 $E (Y) = 0$

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11、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对边分别为a，b，c.

(1)、已知 $\sin A = \frac{\cos^{2} B - \cos^{2} C}{\sin A - \sin B}$ ， $c = 3$ ， $a + b = 3 \sqrt{2}$ ，若 $∠ A C B$ 的平分线交 $A B$ 于点D，求线段 $C D$ 的长；

(2)、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，且 $C = \frac{π}{3}$ ， $H$ 为 $△ A B C$ 的垂心，且 $C H = 3$ ，求 $\frac{\sqrt{3} C H - A H}{B H}$ 的取值范围；

(3)、若 $b = \sqrt{3} a$ ，令 $t = \frac{\sin B}{3 \cos A + \sqrt{3} \cos B}$ ，试求 $t$ 的最大值.

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12、已知圆锥的顶点为 $P$ ，母线 $P A, P B$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{4}$ ，轴截面等腰三角形 $P A C$ 的顶角为 $90^{\circ}$ ，若 $△ P A B$ 的面积为 $2 \sqrt{15}$ .

(1)、求该圆锥的侧面积；

(2)、求圆锥的内切球的表面积；

(3)、求该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值.

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13、某海域的东西方向上分别有 $A, B$ 两个观测点（如图），它们相距 $10 (3 + \sqrt{3})$ 海里.现有一艘轮船在 $D$ 点发出求救信号，经探测得知 $D$ 点位于 $A$ 点北偏东 $45 °$ ， $B$ 点北偏西 $60 °$ ，这时，位于 $B$ 点南偏西 $60 °$ 且与 $B$ 点相距 $40 \sqrt{3}$ 海里的 $C$ 点有一救援船，其航行速速为 $30$ 海里/小时.

(1)、求 $B$ 点到 $D$ 点的距离 $B D$ ；

(2)、若命令 $C$ 处的救援船立即前往 $D$ 点营救，求该救援船到达 $D$ 点需要的时间.

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14、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A A_{1} = A B = A C = 2$ ， $M$ ， $N$ ， $P$ 分别为 $A B$ ， $B C$ ， $A_{1} B_{1}$ 的中点

(1)、求证： $B P / /$ 平面 $C_{1} M N$ ；

(2)、求证： $P$ 、 $M$ 、 $C$ 、 $C_{1}$ 四点共面；

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15、圆台上底面半径为2cm，下底面半径为4cm，母线 $A B = 8 cm$ ， A在上底面上，B在下底面上，从 $A B$ 中点M拉一条绳子，绕圆台侧面一周到B点，则绳子最短距离为cm

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16、已知正方体的外接球的表面积是 $36 π$ ，则该正方体的内切球的体积为.

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17、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 B C = 4$ ，点 $E$ 为边 $A B$ 上的任意一点（包含端点）， $O$ 为线段 $A C$ 的中点，则 $\vec{O E} \cdot \vec{C E}$ 的取值范围是．

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18、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $E$ ， $F$ 分别是 $A D$ ， $D D_{1}$ 的中点，点 $P$ 是底面 $A B C D$ 内一动点，则下列结论正确的为（）

A、存在点 $P$ ，使得 $F P //$ 平面 $A B C_{1} D_{1}$ B、过 $B, E, F$ 三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形 C、三棱锥 $C_{1} - A_{1} B_{1} P$ 的体积为定值 D、三棱锥 $F - A C D$ 的外接球表面积为 $9 π$

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19、若复数 $z$ 在复平面内对应的点为 $Z$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $z (i - 1) = i^{2025} - 1$ ，则 $Z$ 在第二象限 B、若 $z$ 为纯虚数，则 $Z$ 在虚轴上 C、若 $|z| \leq 3$ ，则点 $Z$ 的集合所构成的图形的面积为 $6 π$ D、若 $|z| = 1$ ，则 $z + \frac{1}{z}$ 为实数

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20、已知平面向量 $\vec{a} = (2, - 3)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，则正确的是（）

A、 $(\vec{a} - 2 \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ B、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 可作为一组基底向量 C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{65}}{65}$ D、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量的坐标为 $(\frac{2}{5}, \frac{1}{5})$

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