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相关试卷

1、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M，N分别是棱 $A_{1} B_{1} ， A_{1} D_{1}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、M，N，B，D四点共面 B、 $M N ⊥ A C_{1}$ C、 $M N ⊥$ 平面 $B_{1} A C$ D、直线 $B_{1} D_{1}$ 到平面CMN的距离是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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2、已知直线 $l_{1} : x + (1 + a) y = 2 + a$ 与 $l_{2} : 2 a x + 4 y = - 16$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a = 1$ 时，则 $l_{1} / / l_{2}$ B、若 $a = - 2$ 时，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 重合 C、若 $a = - \frac{2}{3}$ 时，则 $l_{1} ⊥ l_{2}$ D、若 $a = 0$ 时，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 交于点 $(6, - 4)$

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} = 2 ， a_{n + 1} = \frac{2 (n + 1)}{n} a_{n}$ ，对于 $\forall n \in N^{*} ， S_{n} \leq (A n + B) \times 2^{n} + 2$ 恒成立，则 $A + B$ 的最小值为（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、4

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4、已知直线 $l : y = k (x + 3) + 1$ 与曲线 $C : y = \frac{1}{2} \sqrt{4 - x^{2}}$ 有两个公共点，则k的取值范围是（）

A、 $(- \frac{6}{5}, 0)$ B、 $[- \frac{1}{5}, 0)$ C、 $(- \frac{6}{5}, \frac{1}{3})$ D、 $(- \frac{6}{5}, - \frac{1}{5}]$

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5、已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = n$ ，去掉数列中所有的 $a_{3 k} （ k \in N^{*} ）$ ，得到新数列 ${b_{n}}$ ，则 $b_{6} =$ （）

A、6 B、7 C、8 D、9

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6、若正项数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，则“ $a_{9} > a_{7}$ ”是“数列 $\{a_{n}\}$ 为递增数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7、在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，点 $P (2, 3, 4)$ 在坐标平面 $O x y$ 内的射影的坐标为（）

A、 $(0, 0, 4)$ B、 $(0, 3, 4)$ C、 $(2, 0, 4)$ D、 $(2, 3, 0)$

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8、已知函数 $f (x) = \log_{a} x (a > 0, a \neq 1)$ ．

(1)、若 $f (\frac{1}{4}) = 2$ ，求 $a$ 的值；

(2)、当 $0 < a < 1$ 时，若函数 $g (x) = |f (x)|$ 在 $[a, 2 a]$ 上的最大值与最小值的差为 $\frac{1}{2}$ ，求 $a$ 的值；

(3)、设函数 $h (x) = a - 2 x - f (x)$ ，当 $5 < a < 6$ 时， $h (x)$ 的零点 $x_{0} \in (m, m + 1)$ $(m \in N^{*})$ ，求 $m$ 的值．

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9、在某种药物研究试验中发现其在血液内的浓度 $y$ （单位：毫克／毫升）与时间 $t$ （单位：小时）满足函数关系 $y = \{\begin{cases} a \ln (t + 1), 0 \leq t \leq 2 \\ \frac{k}{t}, t > 2 \end{cases}$ ，其中 $a$ ， $k$ 为大于 $0$ 的常数．已知该药物在血液内的浓度是一个连续变化的过程，且在 $2$ 小时时达到最大值 $2 \ln 3$ 毫克／毫升．

(1)、直接写出 $a$ ， $k$ 的值；

(2)、当该药物浓度不小于最大值一半时，称该药物有效．求该药物有效的时间长度 $T$ （单位：小时）．

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10、已知函数 $f (x)$ 为 $R$ 上的奇函数，且在 $[0, + \infty)$ 上单调递增， $f (2) = 1$ ，若 $- 1 \leq f (3 x - 1) \leq 0$ ，则 $x$ 的取值范围是.

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11、已知 $a, b, c \in R$ ，命题 $p$ ：若 $a > b > c$ ，则 $a b^{2} < c b^{2}$ ．能说明 $p$ 为假命题的一组a，b，c的值为 $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ．

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12、如图，函数 $f (x)$ 的图象为折线段 $A B C$ ，则不等式 $f (x) \geq {(x - 2)}^{2}$ 的解集是（）

A、 $[- 2, 0] \cup [3, 4]$ B、 $(- \infty, 0] \cup [3, + \infty)$ C、 $(0, 3)$ D、 $[0, 3]$

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13、下列函数中，是奇函数的是（）

A、 $f (x) = 3^{x} + \frac{1}{3^{x}}$ B、 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ C、 $f (x) = \sqrt{1 + x^{2}}$ D、 $f (x) = x^{2} + \sin x$

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14、为了迎接某项活动，某市积极开展网上竞赛，先采取甲、乙两套方案进行培训，并对分别采取两套方案培训的单位的7次线上测试成绩进行统计如图所示：

(1)、求甲和乙的测试成绩的平均数和方差；

(2)、从下列两个不同的角度对这次方案选择的结果进行分析：
①从平均数和方差相结合看（分析哪种方案的成绩更好）；
②从折线图上两种方案的走势看（分析哪种方案更有潜力）.

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15、意大利著名画家达 $\cdot$ 芬奇曾提出一个引人深思的数学问题：倘若将项链的两端牢牢固定，并让它在重力的牵引下自然垂落，那么这条项链所勾勒出的曲线形态究竟怎样?这便是闻名遐迩的“悬链线问题”.1691年，莱布尼茨和伯努利推导出悬链线的方程为 $y = \frac{c}{2} (e^{\frac{x}{c}} + e^{- \frac{x}{c}})$ ，其中c为参数.当 $c = 1$ 时就是双曲函数，其中双曲余弦函数为 $\cosh x = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，双曲正弦函数为 $\sinh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，悬链线方程在海洋、河流、道路工程等多个领域有着广泛的应用，它的应用不仅能提高工程结构的安全性和稳定性，也能增强整个工程项目的经济性和实用性．

(1)、求证： $\cosh 2 x = \cosh^{2} x + \sinh^{2} x$ ；

(2)、求函数 $y = \cosh 2 x - 2 \cosh x$ 的最小值；

(3)、求证：对 $\forall x \in [- π, \frac{π}{4}]$ ， $c o s h (c o s x) > s i n h (s i n x)$ ．

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16、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为2，部分图象如图所示．

(1)、求A， $ω$ ， $φ$ ；

(2)、在实数范围内，求使不等式 $f (x) - \sqrt{3} \geq 0$ 成立的x的集合；

(3)、若 $f (m) = 0$ ，且满足 $|m| + f (m + \frac{1}{2}) < 36$ ，求满足要求的m的个数．

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17、经过市场调查分析，某地区一年的前 $n$ 个月内，对某种商品的需求累计 $f (n)$ 万件，近似地满足下列关系： $f (n) = \frac{1}{70} n (n + 1) (19 - n), n = 1, 2, 3, \dots, 12$ ．

(1)、求这一年内，哪几个月需求量超过1.7万件?

(2)、若在全年销售，将该产品都在每月初等量投放市场，则为保证该产品全年不脱销，每月初至少投放多少万件?（精确到 $0.01$ 万）

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18、已函数 $f (x)$ 为定义在 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 上的偶函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = \frac{x}{2} - \frac{2}{x}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式．

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间，并说明理由．

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19、已知函数 $f (x) = \log_{2} (x + a) + \log_{2} (b - x)$ 的图象经过点 $(- 1, 1), (0, 1)$ ，其中 $a > 0, b > 0$ ．

(1)、求实数a，b的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的定义域和值域．

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20、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 3 a x + 1, x \leq 1 \\ 2 a + a \ln x, x > 1 \end{array}$ 对任意实数 $x_{1}, x_{2}, x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 成立，则实数a的取值范围是．

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