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相关试卷

1、函数 $f (x) = \frac{x^{4}}{4} + \cos x$ 在 $[- π, π]$ 上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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2、已知集合 $A = \{x |x^{2} < 4\}$ ， $B = \{x |- 3 < x \leq 1\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{x |x < 2\}$ B、 $\{x |1 < x < 2\}$ C、 $\{x |- 3 < x \leq 1\}$ D、 $\{x |- 3 < x < 2\}$

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3、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A ､ B ､ C$ 的对边分别为 $a ､ b ､ c$ ，满足 ${cos}^{2} A - {cos}^{2} B = (sin C - sin A) sin C$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $c = 1$ ，求 $△ A B C$ 面积的取值范围；

(3)、“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小，”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 $△ A B C$ 的三个内角均小于 $120^{\circ}$ 时，使得 $∠ A P B = ∠ B P C = ∠ C P A = 120^{\circ}$ 的点 $P$ 即为费马点.若 $△ A B C$ 的面积为3，是否在 $△ A B C$ 内部存在费马点 $P$ ，使得 $P B^{2} - P A \cdot P C$ 为定值，若存在请求出该定值并说明理由，若不存在也请说明理由.

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4、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $2 b cos A = c - b$ ．

(1)、求证： $A = 2 B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $b = 1$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{c}{2 b - a} = \frac{cos C}{cos A}$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = 2, △ A B C$ 的面积 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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6、十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为 $36 °$ 的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金 $△ A B C$ 中， $\frac{B C}{A C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ .根据这些信息，可得 $\sin 234 ° =$ .

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7、已知圆锥的底面半径为3，母线长为6，则该圆锥的表面积为．

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8、在 $△ A B C$ 中，已知 $a = 3, b = 4, C = 120^{\circ}$ ，则 $c$ 的值为.

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9、如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径 $2 R$ 相等，下列结论正确的是（）

A、圆柱的侧面积为 $4 π R^{2}$ B、圆锥的侧面积为 $\sqrt{5} π R^{2}$ C、圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和 D、三个几何体的表面积中，球的表面积最小

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10、 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $B = 45 °$ ， $c = 8$ ，若解该三角形有且只有一解，则b的可能值为（）

A、6 B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $5 \sqrt{2}$ D、8

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11、下列条件能使 $\vec{a} / / \vec{b}$ 的是（）

A、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ B、 $\vec{a} = \vec{b}$ C、 $| \vec{a} | = 0$ D、 $\vec{a} = (- 2, 4)$ ， $\vec{b} = (2, 0)$

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12、赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设 $D F = 3 F A$ ，若 $A B = 3 \sqrt{21}$ ，则 $D F$ 的长为（）

A、9 B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、 $\sqrt{3}$

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13、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ，向量 $\vec{b} = (λ, 3)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $45^{\circ}$ ，则自然数 $λ =$ （）

A、1 B、3 C、5 D、9

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14、如图，一个圆柱的底面半径为 $\sqrt{3}$ ，高为2，若它的两个底面圆周均在球O的球面上，则球O的表面积为（）

A、 $\frac{32 π}{3}$ B、 $16 π$ C、 $8 π$ D、 $4 π$

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15、在△ABC中，若 $a = 4, b = 7, c = 9$ ，则最大角的余弦值是（）

A、 $\frac{2}{7}$ B、 $- \frac{2}{7}$ C、0 D、 $\frac{4}{9}$

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16、设 $z = (1 + 2 i) (1 - i)$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{10}$

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17、 $\vec{A B} + \vec{B C} - \vec{A D} =$ （）．

A、 $\vec{C D}$ B、 $\vec{D C}$ C、 $\vec{A C}$ D、 $\vec{C A}$

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18、已知 $m > 0$ ， $p : (x + 1) (x - 5) \leq 0$ ， $q : 1 - m \leq x \leq 1 + m$ .

(1)、若 $m = 5$ ， $p, q$ 有且只有一个为真命题，求实数 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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19、求下列函数的解析式

(1)、 $f (x + 1) = x^{2} - 2 x + 3$ ；

(2)、 $f (x)$ 是一次函数，且满足 $f (f (x)) = 25 x + 12$

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20、如图，定义在 $[- 1, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 的图象由一条线段及抛物线的一部分组成．
（1）求 $f (f (4))$ 的值及 $f (x)$ 的解析式；
（2）若 $f (x) = \frac{1}{2}$ ，求实数 $x$ 的值．

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