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相关试卷

1、下列命题中正确的是（）

A、 $\forall x \in (- \infty, 0)$ ， $2^{x} > 3^{x}$ B、 $\exists x \in (0, + \infty)$ ， $2^{x} > 3^{x}$ C、 $\forall x \in (0, 1)$ ， $x^{3} < x^{\frac{1}{2}}$ D、 $\exists x \in (1, + \infty)$ ， $x^{3} < x^{\frac{1}{2}}$

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2、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} - x + m$ ，则 $f (x)$ 在 $[1, 2]$ 上的最大值为（）

A、 $- 5$ B、 $- 2$ C、5 D、6

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3、若不等式 $(a x - 2) (x - b) \geq 0$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立，则 $a + 2 b$ 的最小值为（）

A、3 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $3 \sqrt{2}$

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4、“函数 $f (x) = \lg (x^{2} - a x - 2)$ 在 $[2, + \infty)$ 上单调”的一个充分不必要条件是（）

A、 $- 1 < a \leq 1$ B、 $- 1 \leq a < 1$ C、 $1 < a \leq 4$ D、 $1 \leq a < 4$

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5、下列命题为真命题的是（）

A、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} < a b < b^{2}$ B、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ C、若 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ，则 $a > b$ D、若 $a > b > c > 0$ ，则 $\frac{a}{b} > \frac{a + c}{b + c}$

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6、函数 $f (x) = \tan 2 x$ 的定义域为（）

A、 $\{x |x \neq \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}, k \in Z\}$ B、 $\{x |x \neq \frac{π}{4} + k π, k \in Z\}$ C、 $\{x |x \neq \frac{π}{2} + \frac{k π}{2}, k \in Z\}$ D、 $\{x |x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z\}$

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7、已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 x - 5$ ，则 $f (x)$ 的零点所在区间为（）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(2, 3)$

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8、已知集合 $A = \{x |x = 2 m + 1, m \in Z\}$ ， $B = \{x |x = 4 n + 1, n \in Z\}$ ，则（）

A、 $A \cap B = \emptyset$ B、 $A \cup B = Z$ C、 $A \subseteq B$ D、 $B \subseteq A$

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9、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，且经过点 $(1, \frac{3}{2})$ .过左焦点 $F$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点，过点 $F$ 与 $l$ 垂直的直线交 $C$ 于 $D, E$ 两点，其中 $B, D$ 在 $x$ 轴上方， $M N$ 分别为 $A B, D E$ 的中点.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、证明：直线 $M N$ 过定点，并求定点坐标；

(3)、设 $G$ 为直线 $A E$ 与直线 $B D$ 的交点，求 $△ G M N$ 面积的最小值.

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10、2023年4月21日，以“去南充，Lang起来”为主题的南充文旅（成都）推介会在成都宽窄巷子举行．本次推介会围绕“六百里秀美嘉陵江，两千年人文南充城”展开，通过川北大木偶、川剧快闪等多个环节，展示了将帅故里、锦绣南充的文旅资源，同时还向成都市民和广大游客推介了千年古城阆中游、将帅故里红色游、山水风光览胜游、亲子行读研学游和潮流江岸时尚游等五条精品旅游线路，为了解本次推介会的效果，随机抽取了 $x$ 名观众进行有奖知识答题，现将答题者按年龄分成5组，第一组： $[20, 25)$ ，第二组： $[25, 30)$ ，第三组： $[30, 35)$ ，第四组： $[35, 40)$ ，第五组： $[40, 45]$ 进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，若第一组有5人．

(1)、求 $x$ ；

(2)、现用分层抽样的方法从第四组和第五组中抽取6人，再从这6人随机抽取2人作为幸运答题者，求这2人幸运答题者恰有1人来自第五组的概率．

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11、某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔过程相互独立.根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为 $0.5$ ， $0.6$ ， $0.4$ .第二次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为 $0.6$ ， $0.5$ ， $0.5$ .
（1）求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格的概率；
（2）分别求出甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格的概率；
（3）求甲、乙、丙经过前后两次选拔后，恰有一人合格的概率.

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12、已知 $F$ 是抛物线 $C : y^{2} = 8 x$ 的焦点， $P$ 为抛物线 $C$ 上一点．若 $|P F| = 20$ ，则点 $P$ 的横坐标为．

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13、在棱长为 $\sqrt{2}$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $F$ 为 $C B_{1}$ 的中点， $P$ 为平面 $A C D_{1}$ 上的一动点，则下列选项正确的是（）

A、二面角 $D - A C - D_{1}$ 的平面角的正切值为 $\sqrt{2}$ B、三棱锥 $B_{1} - A C D_{1}$ 体积为 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ C、以点 $D$ 为球心作一个半径为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 的球，则该球被平面 $A C D_{1}$ 所截的圆面的面积为 $\frac{2 π}{3}$ D、线段 $B_{1} P + P F$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{57}}{3}$

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14、设双曲线的渐近线方程为 $y = \pm \frac{1}{2} x$ ，则该双曲线的离心率 $e$ 可以为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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15、中国有很多谚语，如“人多计谋广，柴多火焰高”、“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，“一个篱笆三个桩，一个好汉三个帮”等等．都能体现团队协作、集体智慧的强大．假设某人能力较强，他独自一人解决某个项目的概率为 $P_{1} = 0.8$ ．同时，有由 $n$ 个水平相当的人组成的团队也在研究该项目，团队成员各自独立解决该项目的概率都是 $0.4$ ．如果这 $n$ 个人组成的团队解决该项目的概率为 $P_{2}$ ，且 $P_{2} \geq P_{1}$ ，则 $n$ 的取值可能是（）（参考数据： $lg 2 \approx 0.30$ ， $lg 3 \approx 0.48$ ）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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16、在不超过 9 的质数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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17、若函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上有定义，且对于任意不同的 $x_{1}, x_{2} \in [a, b]$ ，都有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| < k |x_{1} - x_{2}|$ ，则称 $f (x)$ 为 $[a, b]$ 上的“ $k$ 类函数”．

(1)、若 $f (x) = \frac{x^{2}}{2} + x$ ，判断 $f (x)$ 是否为 $[1, 2]$ 上的“3类函数”；

(2)、若 $f (x) = a (x - 1) e^{x} - \frac{x^{2}}{2} - x \ln x$ 为 $[1, e]$ 上的“2类函数”，求实数 $a$ 的取值范围．

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18、某校举办了一次安全知识竞赛，竞赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛.预赛从8道题中任选4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰.

(1)、若这8道题中甲同学能答对其中4道，记甲在预赛中答对的题目个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列并计算甲进入决赛的概率.

(2)、决赛需要回答3道同等难度的题目，若全部答对则获得一等奖，奖励200元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励100元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励.假定进入决赛的同学答对每道题目的概率均为 $p (0 < p < 1)$ ，且每次答题相互独立.
（i）记进入决赛的某同学恰好获得二等奖的概率为 $f (p)$ ，求 $f (p)$ 的最大值；
（ii）某班共有4名学生进入了决赛，若这4名同学获得总奖金的期望值不小于325元，求此时 $p$ 的取值范围.

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19、已知二项式 ${(1 - 3 x)}^{n}$ ，若选条件_____ $($ 填写序号 $)$ ，

(1)、求展开式中含 $x^{3}$ 的项；

(2)、设 ${(1 - 3 x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots a_{n} x^{n}$ ，求展开式中奇数项的系数和．
请在：①只有第 $4$ 项的二项式系数最大；②第 $2$ 项与第 $6$ 项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为 $64$ ，
这三个条件中任选一个，补充在上面问题中的线上，并完成解答．

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20、数学竞赛中，某校有 $A, B, C, D, E, F$ 共6位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设 $A, B$ 两人必须相邻且站在正中间， $C, D$ 两人不能相邻，则不同的站法共有种.

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