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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x + 8 (a, b \in R)$ 的图象在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程为 $y = - 9 x + 24$ .

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- 2, 3]$ 上的最大值与最小值.

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2、已知函数 $f (x) = e^{x} + sin x - 2 (a^{2} + ln a) x$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是.

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3、长时间看手机有可能影响视力. 据调查，某校学生有 $50 %$ 的人近视，而该校有 $25 %$ 的学生每天看手机时间超过 $1 h$ ，这些人的近视率为 $80 %$ . 现从每天看手机时间不超过 $1 h$ 的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为.

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = - 1, 2 a_{n + 1} - a_{n} a_{n + 1} = 1 (n \in N^{*})$ ，则 $a_{3} =$ .

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5、设 $m$ 为正整数，数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{4 m + 2}$ 是公差不为 $0$ 的等差数列，若从中删去两项 $a_{i}$ 和 $a_{j} (i < j)$ 后剩余的 $4 m$ 项可被平均分为 $m$ 组，且每组的 $4$ 个数都能构成等差数列，则称数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{4 m + 2}$ 是 $(i, j)$ 可分数列.从 $1, 2, \dots, 4 m + 2$ 中一次任取两个数 $i$ 和 $j (i < j)$ ，记数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{4 m + 2}$ 是 $(i, j)$ 可分数列的概率为 $P_{m}$ ，则（）

A、数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{6}$ 是 $(1, 6)$ 可分数列 B、数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{10}$ 是 $(2, 9)$ 可分数列 C、 $P_{1} = \frac{1}{5}$ D、 $P_{2} = \frac{1}{7}$

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6、已知 ${(1 - 2 x)}^{2024} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{2024} x^{2024}$ ，则（）

A、展开式中的常数项为1 B、展开式中各项系数之和为0 C、展开式中二项式系数最大的项为第1012项 D、 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \frac{a_{3}}{2^{3}} + \dots + \frac{a_{2024}}{2^{2024}} = - 1$

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7、随机抽取5家超市，得到其广告支出 $x$ （万元）与销售额 $y$ （万元）的数据如下：
超市
A
B
C
D
$E$
广告支出 $x$
2
4
5
6
8
销售额 $y$
30
40
60
60
70
下列说法正确的是（）
（参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 1440 ， \sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 145$ ）

A、经验回归直线经过点 $(5, 60)$ B、经验回归方程为 $\hat{y} = 7 x + 17$ C、样本点 $(8, 70)$ 的残差为 $- 3$ D、预测广告支出10万元时的销售额为80万元

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8、已知函数 $f (x) = x^{a} - {log}_{b} x (a > 0, b > 0, b \neq 1)$ ，若 $f (x) \geq 1$ 恒成立，则 $a b^{2}$ 的最小值为（）

A、 $e$ B、 $2 e$ C、 $e^{2}$ D、 $2 e^{2}$

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9、以平行六面体的顶点为顶点的四面体的个数为（）

A、70 B、64 C、58 D、24

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10、已知随机变量 $X$ 取所有的值 $1 ， 2 ， 3 ， \dots ， n$ 是等可能的，且 $E (X) = 15$ ，则 $n =$ （）

A、 $29$ B、 $19$ C、 $6$ D、 $5$

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11、有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为 $5 %$ ，第2，3台加工的次品率均为 $3 %$ ，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的 $20 % ， 30 % ， 50 %$ . 如果取到的零件是次品，则它是第3台车床加工的概率是（）

A、 $\frac{17}{50}$ B、 $\frac{15}{34}$ C、 $\frac{9}{34}$ D、 $\frac{5}{17}$

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12、学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，不同的选法种数为（）

A、10 B、15 C、60 D、125

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13、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (1 ， σ^{2})$ ，且 $P (0 < X \leq 2) = 0.36$ ，则 $P (X > 2) =$ （）

A、0.14 B、0.18 C、0.32 D、0.64

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14、已知 $f (x) = \frac{sin x}{x}$ ，则 $f^{'} (\frac{π}{2}) =$ （）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{2}{π}$ C、 $- \frac{1}{π}$ D、 $- \frac{4}{π^{2}}$

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15、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为1，公比为 $- 2$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的前5项和为（）

A、11 B、16 C、 $- 15$ D、 $- 7$

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16、如图，已知 $△ A B C$ ， $A B = A C = 2 B C = 1$ ，且点 $P$ 是 $△ A B C$ 的重心.过点 $P$ 的直线 $l$ 与线段 $A B$ 、 $A C$ 分别交于点 $E$ 、 $F$ .设 $\vec{A E} = λ \vec{A B}$ ， $\vec{A F} = μ \vec{A C}$ （ $λ \neq 0$ ， $μ \neq 0$ ）.

(1)、求 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的值，并判断 $\frac{1}{λ} + \frac{1}{μ}$ 是否为定值，若是则求出定值，若不是请说明理由；

(2)、若 $△ A E F$ 的周长为 $C_{1}$ ， $△ A B C$ 的周长为 $C_{2}$ .设 $x = λ μ$ ，记 $f (x) = \frac{C_{1}}{C_{2}} - x$ ，求 $f (x)$ 的取值范围.

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17、如图，已知三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，底面 $△ A B C$ 是以 $B$ 为直角顶点的等腰直角三角形，体积为 $\frac{14 \sqrt{3}}{3}$ ，平面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ，且 $A A_{1} = A_{1} B_{1} = B B_{1} = \frac{1}{2} A B$ .

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、求点 $B$ 到面 $A C C_{1} A_{1}$ 的距离；

(3)、在线段 $C C_{1}$ 上是否存在点 $F$ ，使得二面角 $F - A B - C$ 的大小为 $\frac{π}{6}$ ，若存在，求出 $C F$ 的长，若不存在，请说明理由.

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18、为推动习近平新时代中国特色社会主义思想深入人心，促进全社会形成爱读书、读好书、善读书的新风尚，培育有坚定理想信念、爱党爱国、堪当民族复兴大任的有为青年，某学校举办了读书节活动.现从该校的2000名学生中发放调查问卷，随机调查了100名学生一周的课外阅读时间，将统计数据按照 $[0, 20)$ ， $[20, 40)$ ， … $[100, 120)$ ， $[120, 140]$ 组后绘制成如图所示的频率分布直方图（单位：分钟，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.

(1)、求 $a$ 的值，若每周课外阅读时间60分钟以上（含60分钟）视为达标，试估计该校达标的人数；

(2)、估计该校学生每周课外阅读的平均时间；

(3)、若样本数据在 $[0, 20)$ 与 $[20, 40)$ 内的方差分别为 $s_{1}^{2} = 3$ ， $s_{2}^{2} = \frac{5}{3}$ ，计样本数据在 $[0, 40)$ 内的方差 $s^{2}$ .

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19、已知 $△ A B C$ 的内角A， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $2 a + c - 2 b \cos C = 0$ .

(1)、求 $∠ B$ ；

(2)、若 $c = 2$ ， $D$ 为线段 $A C$ 的中点，且 $B D = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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20、某企业进入中学参与学校举办的模拟招聘会，设置了笔试、面试两个环节，先笔试后面试，笔试通过了才可以进入面试，面试通过后即可录用，李明参加该企业的模拟招聘.
笔试关：有4道题，应聘者随机从中选择2道，两道题均答对即可通过笔试，否则淘汰不予录用.已知李明能答对其中的3道题；
面试关：有2道题，面试者答对第一道题，则面试通过被企业录用，否则就继续答第二道题，答对第二道题则面试通过被企业录用，否则淘汰不予录用.已知李明答对每道面试题的概率都是 $\frac{1}{4}$ ，两道题能否答对相互独立.

(1)、李明笔试关中能答对的3道题记为 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ，不能答对的题记为 $b$ ，请写出李明参加笔试关所有可能结果构成的样本空间，并求出李明通过笔试关的概率；

(2)、求李明被录用的概率.

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超市	A	B	C	D	$E$
广告支出 $x$	2	4	5	6	8
销售额 $y$	30	40	60	60	70