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相关试卷

1、筒车亦称“水转筒车”，一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图是某公园的筒车，假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针方向匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒 $M$ 距离水面的高度 $H$ （单位：米，记水筒 $M$ 在水面上方时高度为正值，在水面下方时高度为负值）与转动时间 $t$ （单位：秒）满足函数关系式 $H = 2 \sin (\frac{π}{30} t + φ) + \frac{5}{4}$ ， $φ \in (0, \frac{π}{2})$ ，且 $t = 0$ 时，盛水筒 $M$ 位于水面上方 $2.25$ 米处，当筒车转动到第 $80$ 秒时，盛水筒 $M$ 距离水面的高度为（）米．

A、 $3.25$ B、 $2.25$ C、 $1.25$ D、 $0.25$

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2、设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为单位向量， $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $- \frac{1}{2} \vec{b}$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ （）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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3、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点M，N分别为线段AC和线段 $A_{1} B$ 的中点，求直线MN与平面 $A_{1} B_{1} B A$ 所成角为（）

A、60° B、45° C、30° D、75°

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4、已知m，n是两条不同直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个不同平面，则下列命题中正确的是（）

A、若 $m ∥ α$ ， $n ∥ α$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $α ⊥ β$ ， $γ ⊥ β$ ，则 $α ⊥ γ$ C、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m ∥ n$ D、若 $m ∥ α$ ， $m ∥ β$ ，则 $α ∥ β$

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5、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1)$ ， $\vec{b} = (k, 2)$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b}) ∥ \vec{a}$ ，则实数k等于（）

A、 $- 4$ B、4 C、0 D、 $- \frac{3}{2}$

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6、若 $z = (2 - a i) (1 + 2 i)$ 为纯虚数，则实数 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 1$ D、1

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7、已知函数 $f (x) = {(1 + x)}^{r} - r x - 1 (x > - 1)$ ， $r > 0$ 且 $r \neq 1$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、比较 $\sqrt[4]{15}$ 与 $\frac{63}{32}$ 的大小，并说明理由；

(3)、当 $n \in N^{*}$ 时，证明： $\sum_{k = 1}^{n} {(\sqrt{1 + \frac{1}{k}})}^{\sin \frac{2}{k}} < n + \frac{7}{6}$ ．

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8、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $\frac{c}{a + b + c} = \frac{sin A + sin C - sin B}{sin A}$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，外接圆的面积为 $\frac{7 π}{3}$ ，求 $a, c$ .

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9、已知函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 满足 $f^{'} (x) + 2 x > 0$ 在 $R$ 上恒成立，则不等式 $f (2 x - 1) + 3 x^{2} > f (1 - x) + 2 x$ 的解集是.

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10、已知 $A (3, 2)$ ，抛物线 $C : y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F, P$ 是抛物线C上任意一点，则 $△ P A F$ 周长的最小值为．

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11、 $(x - 1) {(x^{2} - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项为．

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12、已知圆锥 $S O$ 的侧面展开图为一个半圆， $A C$ 为底面圆 $O$ 的一条直径， $A C = 2$ ， B为圆O上的一个动点（不与A，C重合），记二面角 $S - A B - O$ 为 $α$ ， $S - B C - O$ 为 $β$ ，则（）

A、圆锥 $S O$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ B、三棱锥 $S - A B C$ 的外接球的半径为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、若 $α = β$ ，则 $B O ⊥$ 平面 $S A C$ D、若 $\tan α = 2 \tan β$ ，则 $\tan α = \sqrt{15}$

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13、已知函数 $f (x) = e^{2 x} + (x - 2 a) e^{x} + a^{2} (a \in R)$ 的最小值为 $g (a)$ ，则 $g (a)$ 的最小值为（）

A、 $- e$ B、 $- \frac{1}{e}$ C、0 D、1

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14、如图，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 的直线与椭圆相交于P，Q 两点．若 $|P F_{1}| = 3$ ， $|P Q| = 4$ ， $|F_{1} Q| = 5$ ，则椭圆C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{3 y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{2 y^{2}}{9} = 1$

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15、已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ， $\vec{a} = (- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ ， $|\vec{a} - \vec{b}| = 1$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ （）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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16、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}, a_{8} = 17, S_{17} = 340$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的公差是（）

A、 $- 4$ B、 $- 3$ C、 $\frac{1}{4}$ D、3

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17、2020年以来，为了抗击新冠肺炎疫情，教育部出台了“停课不停学”政策，全国各地纷纷采取措施，通过网络进行教学，为莘莘学子搭建学习的平台．在线教育近几年蓬勃发展，为学生家长带来了便利，节省了时间，提供了多样化选择，满足了不同需求，也有人预言未来的教育是互联网教育．与此同时，网课也存在以下一些现象，自觉性不强的孩子网课学习的效果大打折扣，授课教师教学管理的难度增大．基于以上现象，开学后某学校对本校课学习情况进行抽样调查，抽取25名女生，25名男生进行测试、问卷等，调查结果形成以下2×2列联表，通过数据分析，认为认真参加网课与学生性别之间（）

认真上网课
不认真上网课
合计
男生
5
20
25
女生
15
10
25
合计
20
30
50
参考数据：
$α$
0.05
0.01
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
10.828

A、不能根据小概率的 $α = 0.05$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验认为两者有关 B、根据小概率的 $α = 0.01$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验认为两者有关 C、根据小概率的 $α = 0.001$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验认为两者有关 D、根据小概率的 $α = 0.05$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验认为两者无关

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18、已知 $i (z - 1) = z + 1$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- i$ B、 $1 - i$ C、 $i$ D、 $1 + i$

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19、我们知道，复数可以用 $a + b i (a, b \in R)$ 的形式来表示，与复平面内的点 $Z (a, b)$ 是一一对应的，复数的模 $| z | = | a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ，即是复平面内的点 $Z (a, b)$ 到坐标原点 $O$ 的距离 $|O Z|$ ．又复数与平面向量 $\vec{O Z} = (a, b)$ 也是一一对应的，所以也可以借助与 $x$ 非负半轴为始边，以向量 $\vec{O Z}$ 所在射线（射线OZ）为终边的角 $θ$ 来刻画 $\vec{O Z}$ 的方向，在此基础上再来认识一下复数的乘除法运算．
如： $z_{1} = 1 + \sqrt{3} i$ ， $|z_{1}| = 2$ ，角 $θ_{1} = \frac{π}{6}$ ； $z_{2} = \sqrt{3} + i$ ， $|z_{2}| = 2$ ，角 $θ_{2} = \frac{π}{3}$ ，由 $z_{1} \cdot z_{2} = (1 + \sqrt{3} i) \times (\sqrt{3} + i) = 4 i$ ．即：复数 $z = z_{1} \cdot z_{2}$ ，相当于将复数 $z_{1}$ 伸长了 $|z_{2}|$ 倍，同时逆时针旋转角 $θ_{2}$ 后得到．

(1)、计算 $\frac{a + b i}{i} (a, b \in R)$ ，并从模与角度的变化来解释除法运算的几何意义；

(2)、现将直角坐标平面内任意一点 $P (x, y)$ ，绕坐标原点逆时针旋转 $θ$ 角，并将 $|O P|$ 的长度伸长 $m$ 倍后得到点 $Q (x^{'}, y^{'})$ ．请借助以上复数运算的知识，推导点 $P$ 与点 $Q$ 伸缩旋转变换的坐标关系；

(3)、已知反比例函数 $C : y = \frac{1}{x}$ ，现将函数 $C$ 上的点 $P (x, y)$ 都逆时针旋转 $45 °$ 后得到点 $Q (x^{'}, y^{'})$ 的曲线 $C^{'}$ ，求曲线 $C^{'}$ 上的点 $Q (x^{'}, y^{'})$ 坐标关系式．

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20、设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个不共线向量， $\vec{A B} = 2 \vec{a} + λ \vec{b}$ ， $\vec{B C} = \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{C D} = \vec{a} - 2 \vec{b}$ ．若A，C，D三点共线，则实数 $λ =$ ．

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	认真上网课	不认真上网课	合计
男生	5	20	25
女生	15	10	25
合计	20	30	50

$α$	0.05	0.01	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	10.828