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相关试卷

1、已知集合 $P = \{- 1, 0, 1\}$ ， $Q = \{x \in R| - 1 \leq x < 1\}$ ，则 $P \cap Q =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${0, 1}$ C、 ${- 1, 0}$ D、 ${- 1, 0, 1}$

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2、双淘汰赛制是一种竞赛形式，比赛一般分两个组进行，即胜者组与负者组.在第一轮比赛后，获胜者编入胜者组，失败者编入负者组继续比赛，之后的每一轮，在负者组中的失败者将被淘汰；胜者组的情况也类似，只是失败者仅被淘汰出胜者组降入负者组，只有在负者组中再次失败后才会被淘汰出整个比赛.A、B、C、D四人参加的双淘汰赛制的流程如图所示，其中第6场比赛为决赛.

(1)、假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为50%，求：
①A获得季军的概率；
②D成为亚军的概率；

(2)、若A的实力出类拔萃，有4人参加的比赛其胜率均为75%，其余三人实力旗鼓相当，求D进入决赛且先前与对手已有过招的概率.

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3、如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ A B C = 60 °$ ， $△ S A D$ 为正三角形， $E$ ， $F$ 分别为 $A D$ ， $S B$ 的中点.

(1)、若平面 $S A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，求直线 $B S$ 与平面 $A B C D$ 所成的角的正弦值；

(2)、求证：平面 $A S B ⊥$ 平面 $S B C$ .

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4、如图所示，在圆锥 $D O$ 中， $D$ 为圆锥的顶点， $O$ 为底面圆的圆心， $A B$ 是圆 $O$ 的直径， $C$ 为底面圆周上一点，四边形 $A O D E$ 是矩形.

(1)、若 $F$ 是 $B C$ 的中点，求证： $D F //$ 平面 $A C E$ ；

(2)、若 $A B = 2$ ， $∠ B A C = ∠ A C E = \frac{π}{3}$ ，求三棱锥 $A - B C D$ 的体积.

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5、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，向量 $\vec{m} = (a, \sqrt{3} b)$ ， $\vec{n} = (\cos A, \sin B)$ ，且 $\vec{m} // \vec{n}$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ，求 $b + c$ 的取值范围.

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6、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ，点 $P$ 在底面的投影 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，若 $A B = 4$ ， $B C = 3$ ， $P O = 5$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为.

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7、已知 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $A C = 7$ ， $A D$ 为边 $B C$ 上的中线，若 $A D = \frac{7}{2}$ ，则 $B C =$ .

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8、现有一组数据按照从小到大的顺序排列如下：4，6，7，7，8，9，11，14，15，19，则这组数据的上四分位数为.

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9、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是棱 $C C_{1}$ ， $C B$ ， $C D$ 的中点， $P$ 为线段 $A D_{1}$ 上的一个动点，平面 $α //$ 平面 $E F G$ ，则下列说法中正确的是（）

A、不存在点 $P$ ，使得 $C P ⊥$ 平面 $E F G$ B、三棱锥 $P - E F G$ 的体积为定值 C、平面 $α$ 截该正方体所得截面的面积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、平面 $α$ 截该正方体所得截面可能是三角形或六边形

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10、已知向量 $\vec{a} = (3, - 4)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $|\vec{b}| = \sqrt{5} |\vec{a}|$ B、 $\vec{b} ⊥ (5 \vec{a} - 2 \vec{b})$ C、 $\vec{a} // (3 \vec{a} + 2 \vec{b})$ D、 $\cos ⟨\vec{b}, \vec{a} - \vec{b}⟩ = - \frac{3 \sqrt{130}}{130}$

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11、从1，2，3， $\dots$ ， 9中任取三个不同的数，则在下述事件中，是互斥但不是对立事件的有（）

A、“三个都为偶数”和“三个都为奇数” B、“至少有一个奇数”和“至多有一个奇数” C、“至少有一个奇数”和“三个都为偶数” D、“一个偶数两个奇数”和“两个偶数一个奇数”

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12、 $△ A B C$ 的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a = 2 c \cos B$ ， $c \cos B + b \cos C = \sqrt{2} c$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等腰非直角三角形 B、直角非等腰三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形

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13、正 $△ A B C$ 边长为 $3$ ， $M$ 、 $N$ 为线段 $B C$ 的三等分点，则 $\vec{A M} \cdot \vec{A N} =$ （）

A、 $\frac{23}{4}$ B、 $2$ C、 $\frac{13}{2}$ D、 $\frac{26}{9}$

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14、根据气象学上的标准，如果连续5天的日平均气温都低于10℃即为入冬.现将连续5天的日平均气温（单位：℃）的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，则下列描述中，该组数据一定符合入冬指标的有（）

A、平均数小于4 B、平均数小于4且极差小于或等于3 C、平均数小于4且标准差小于或等于4 D、众数等于6且极差小于或等于4

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15、下列说法中不正确的是（）

A、三棱锥是四面体，正四面体是正三棱锥 B、平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C、平行的线段在直观图中仍然平行 D、在同一个圆中，圆心和圆上两点可确定一个平面

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16、在复平面内，复数 $z$ 对应的点的坐标是 $(1, - 1)$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、 $1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2$ D、 $2 \sqrt{2}$

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17、甲口袋中装有2个黑球和3个白球，乙口袋中装有5个白球. 现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 $n$ 次这样的操作. 记甲口袋中黑球个数为 $X_{n}$ ，恰有1个黑球的概率为 $p_{n}$ ，恰有2个黑球的概率为 $q_{n}$ .

(1)、求 $p_{1} ， q_{1}$ 与 $p_{2} ， q_{2}$ ；

(2)、设 $a_{n} = p_{n} + 2 q_{n}$ ，求证：数列 $\{a_{n} - 1\}$ 是等比数列；

(3)、求 $X_{n}$ 的数学期望 $E (X_{n})$ （用 $n$ 表示）.

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18、已知函数 $f (x) = x^{2} + (1 - 2 a) x - a \ln x, a \in R$
（1）讨论函数 $f (x)$ 的单调性；
（2）若 $f (x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围.

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19、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{n} > 0$ ，且 $2 a_{n} ， 2 S_{n} ， a_{n}^{2}$ 成等差数列.

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \{\begin{matrix} a_{n} ， n 为奇数， \\ \frac{2}{a_{n} a_{n + 2}} ， n 为偶数， \end{matrix}$ 求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ .

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20、为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，某电视传媒公司随机抽取了该地区100名电视观众进行调查，调查数据如下：
非体育迷
体育迷
合计
男
30
45
女
10
合计
75
100

(1)、完成上面的 $2 \times 2$ 列联表，依据 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为“体育迷”与性别有关联？

(2)、五一期间，该地区电视台在某体育赛事现场直播期间开展电话连线活动，计划从该地区电视观众中随机连线5名观众，假设每位电视观众连线成功的概率均为 $p (0 < p < 1)$ ，各人是否连线成功互不影响，记连线的5名观众中恰有3人连线成功的概率为 $f (p)$ ，求 $f (p)$ 取得最大值时 $p$ 的值.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ （其中 $n = a + b + c + d$ ）
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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	非体育迷	体育迷	合计
男	30		45
女		10
合计	75		100

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828