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相关试卷

1、若 $sin α + \sqrt{3} cos α = 1$ ，则 $cos (α - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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2、已知集合 $A = {x \in Z ∣ - 2 < x < 4}, B = \{x ∣ x^{2} + 2 x \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 2, 0]$ B、 $[- 2, 4)$ C、 $\{- 1, 0\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0\}$

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3、任意一个复数 $z$ 的代数形式都可写成复数三角形式，即 $z = a + b i = r (cos θ + isin θ)$ ，其中 $i$ 为虚数单位， $r = |z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \geq 0, θ \in [0, 2 π)$ .棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667~1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为： $z_{1} = r_{1} (cos θ_{1} + isin θ_{1}), z_{2} = r_{2} (cos θ_{2} + isin θ_{2})$ ，则： $z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} [cos (θ_{1} + θ_{2}) + isin (θ_{1} + θ_{2})]$ .如果令 $z_{1} = z_{2} = \dots = z_{n} = z$ ，则能导出复数乘方公式： $z^{n} = r^{n} (cos n θ + isin n θ)$ .请用以上知识解决以下问题.

(1)、试将 $z = 3 - \sqrt{3} i$ 写成三角形式；

(2)、试应用复数乘方公式推导三倍角公式： $sin 3 θ = 3 sin θ - 4 {sin}^{3} θ; cos 3 θ = 4 {cos}^{3} θ - 3 cos θ$ ；

(3)、计算： ${cos}^{4} θ + {cos}^{4} (θ + 120^{\circ}) + {cos}^{4} (θ - 120^{\circ})$ 的值.

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4、为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水.计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 $x$ （吨），一位居民的月用水量不超过 $x$ 的部分按平价收费，超出 $x$ 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 $[0, 1), [1, 2), \dots, [8, 9)$ 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中 $0.4 a = b$ .

(1)、求直方图中 $a, b$ 的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；

(2)、设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数；

(3)、若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准 $x$ （吨），估计 $x$ 的值.

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5、一条东西方向的河流两岸平行，河宽 $250 m$ ，河水的速度为向东 $2 \sqrt{3} k m / h$ .一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距 $250 \sqrt{3} m$ 的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为 $6 k m / h$ ，则当小货船的航程最短时，求合速度的方向，并求此时小货船航行速度的大小.

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6、抛两枚质地均匀的骰子，向上的点数分别为x，y，则x，y，3能够构成三角形三边长的概率为.

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7、如图，某学校共有教师200人，按老年教师、中年教师、青年教师的比例用分层随机抽样的方法从中抽取一个60人的样本，则被抽到的青年教师的人数为 .

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8、正多面体也称柏拉图立体（被誉为最有规律的立体结构），是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体 $A B C D E F$ 的棱长都是2（如图），则（）

A、 $B E / /$ 平面 $A D F$ B、直线 $B C$ 与平面 $B E D F$ 所成的角为60° C、若点 $P$ 为棱 $E B$ 上的动点，则 $A P + C P$ 的最小值为 $2 \sqrt{3}$ D、若点 $P$ 为棱 $E B$ 上的动点，则三棱锥 $F - A D P$ 的体积为定值 $\frac{4}{3}$

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9、已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为 $\bar{x}$ ，方差为 $s^{2}$ ，则（）

A、 $\bar{x} = 70, s^{2} < 75$ B、 $\bar{x} = 70, s^{2} > 75$ C、 $\bar{x} = 70, s^{2} = 75$ D、 $\bar{x} < 70, s^{2} > 75$

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10、下列说法正确的是（）
①已知 $a, b, c$ 为三条直线，若 $a, b$ 异面， $b, c$ 异面，则 $a, c$ 异面；
②若a不平行于平面 $α$ ，且 $a \subset α$ ，则 $α$ 内的所有直线与a异面；
③两两相交且不公点的三条直线确定一个平面；
④若 $△ A B C$ 在平面 $α$ 外，它的三条边所在的直线分别交 $α$ 于 $P 、 Q 、 R$ ，则 $P 、 Q 、 R$ ，三点共线．

A、①② B、③④ C、①③ D、②④

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11、已知圆锥的底面圆周在球 $O$ 的球面上，顶点为球心 $O$ ，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $24 π$ B、 $36 π$ C、 $48 π$ D、 $64 π$

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12、复数 $z = \frac{2 - i}{1 + i}$ 在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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13、高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数 $z = a + b i$ 对应复平面内的点Z，设 $∠ X O Z = θ$ ， $|O Z| = r$ ，则任何一个复数 $z = a + b i$ 都可以表示成： $z = r (\cos θ + i \sin θ)$ 的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，θ称为复数z的辐角，若 $0 \leq θ < 2 π$ ，则θ称为复数z的辐角主值，记为argz．复数有以下三角形式的运算法则：若 $z_{i} = r_{i} (\cos θ, + i \sin θ_{i}), i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot n$ ，则： $z_{1} \cdot z_{2} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot z_{n} = r_{1} r_{2} \cdot \cdot \cdot r_{n} [\cos (θ_{1} + θ_{2} + \cdot \cdot \cdot + θ_{n}) + i \sin (θ_{1} + θ_{2} + \cdot \cdot \cdot + θ_{n})]$ ，特别地，如果 $z_{1} = z_{2} = \cdot \cdot \cdot z_{n} = r (\cos θ + i \sin θ)$ 那么 ${[r (\cos θ + i \sin θ)]}^{n} = r^{n} (\cos n θ + i \sin n θ)$ 这个结论叫做棣莫弗定理．请运用上述知识和结论解答下面的问题：

(1)、求复数 $z = 1 + cos θ + isin θ, θ \in (π, 2 π)$ 的模 $|z|$ 和辐角主值argz（用θ表示）；

(2)、设 $n \leq 2024, n \in N$ ，若存在 $θ \in R$ 满足 ${(\sin θ + i \cos θ)}^{n} = \sin n θ + i \cos n θ$ ，那么这样的n有多少个？

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14、已知甲、乙两名学生每天上午、下午都进行体育锻炼，近50天选择体育项目情况统计如下：
体育锻炼目的情况（上午，下午）
（足球，足球）
（足球，羽毛球）
（羽毛球，足球）
（羽毛球，羽毛球）
甲
20天

10天
乙
10天
10天
5天
25天
假设甲、乙上午、下午选择锻炼的项目相互独立，用频率估计概率．已知甲上午选择足球的条件下，下午仍选择足球的概率为 $\frac{4}{7}$ ．

(1)、请将表格内容补充完整；（写出计算过程）

(2)、已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为 $\frac{1}{4}$ ，并且当上午的室外温度低于20度时，甲去打羽毛球的概率为 $\frac{3}{4}$ ，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度以下的概率．

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15、某工厂每月最后1个工作日为本月“技术竞赛日”，竞赛获奖结果有四种：未获奖、三等奖、二等奖、一等奖，在以往的技术竞赛记录中随机抽取了200人，统计制成了如下获奖人次条形图.现有甲、乙、丙、丁4人要参加本月“技术竞赛日”的竞赛，以条形图中获奖情况的频率为每人获奖的概率.

(1)、估计在本月“技术竞赛日”的竞赛中，甲获一等奖且乙未获奖的概率；

(2)、若获三等奖、二等奖、一等奖所对应的奖金逐级增高，未获奖则没有奖金，估计丙所得奖金低于丁所得奖金的概率.

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16、一项抛掷骰子的过关游戏规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数和大于 $n^{2}$ ，则算过关．游戏者可以随意挑战某一关．若直接挑战第三关，则通关的概率为．

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17、某班成立了 $A, B$ 两个数学兴趣小组， $A$ 组 $10$ 人， $B$ 组 $30$ 人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中， $A$ 组的平均成绩为 $130$ 分，方差为 $115$ ， $B$ 组的平均成绩为 $110$ 分，方差为 $215$ ．则在这次测试中全班学生方差为．

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18、已知 $|\vec{a}| = 6$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 12$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量是.

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19、如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P到水面的距离为d米（P在水面下则d为负数），则d（米）与时间t（秒）之间满足关系式： $d = A sin (ω x + φ) + k (A > 0, ω > 0), - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2}$ ，且当P点从水面上浮现时开始计算时间，则（）

A、 $k = 5$ B、 $A = 10$ C、 $ω = \frac{2 π}{15}$ D、 $k = 10$

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20、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱 $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A A_{1} = 2$ ， $A B = B C = 1$ ，三棱柱外接球的球心为 $O$ ，点 $E$ 是侧棱 $B B_{1}$ 上的一动点.下列说法正确的个数是（）
①直线 $A C$ 与直线 $C_{1} E$ 是异面直线；②若 $∠ A B C = 90 °$ ，则 $A_{1} E$ 与 $A C_{1}$ 一定不垂直；③若 $∠ A B C = 60 °$ ，则三棱锥 $E - A A_{1} O$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{18}$ ；④ 三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 外接球的表面积的最大值为 $12 π$ .

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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体育锻炼目的情况（上午，下午）	（足球，足球）	（足球，羽毛球）	（羽毛球，足球）	（羽毛球，羽毛球）
甲	20天			10天
乙	10天	10天	5天	25天