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相关试卷

1、 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\sqrt{3} (b \cos C + c \cos B) = 2 a \sin A$

(1)、求锐角 $A$ 的大小；

(2)、在（1）的条件下，若 $\sin C = \cos C$ ，且 $△ A B C$ 的周长为 $2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2} + \sqrt{6}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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2、如图是我国古代著名数学家杨辉在《详解九章算术》给出的一个用数排列起来的三角形阵，请通过观察图象发现递推规律，并计算从第三行到第十五行中，每行的第三位数字的总和为.

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3、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{2} = - 2$ ， $S_{7} = 14$ ，则 $a_{10} =$ .

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4、法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：椭圆的两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆中心为圆心的圆（称为椭圆的蒙日圆）.已知椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{10} = 1$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，左､右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，点 $P$ 是椭圆上异于 $A_{1}, A_{2}$ 的动点，点 $Q$ 是该椭圆的蒙日圆上的动点，则下列说法正确的是（）

A、该椭圆的蒙日圆的方程为 $x^{2} + y^{2} = 35$ B、存在点 $Q$ 使 $△ F_{1} Q F_{2}$ 的面积为25 C、使 $∠ F_{1} P F_{2} = 90^{\circ}$ 的点 $P$ 有四个 D、直线 $P A_{1}, P A_{2}$ 的斜率之积 $k_{P A_{1}} \cdot k_{P A_{2}} = - \frac{2}{5}$

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5、下列说法正确的是（）

A、若 $ξ ~ N (μ, σ^{2})$ ，若函数 $f (x) = P (x \leq ξ \leq x + 1)$ 为偶函数，则 $μ = \frac{1}{2}$ B、数据7，5，3，10，2，6，8，9的上四分位数为8 C、已知 $0 < P (M) < 1$ ， $0 < P (N) < 1$ ，若 $P (M| N) + P (\bar{M}) = 1$ ，则 $M$ ， $N$ 相互独立 D、根据分类变量 $X$ 与 $Y$ 的成对样本数据，计算得到 $χ^{2} = 3.937$ 依据 $α = 0.05$ 的独立性检验（ $X_{0.05} = 3.841$ ），可判断 $X$ 与 $Y$ 有关且犯错误的概率不超过0.05

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6、若关于 $x$ 的方程 $\log_{\frac{1}{3}} (a - 3^{x}) = x - 2$ 有解，则实数 $a$ 的最小值为

A、4 B、6 C、8 D、2

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7、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ ，若方程 $f (x) = \frac{1}{2}$ 在区间 $(0, 2 π)$ 上恰有3个实数根，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{25}{24}, \frac{31}{24})$ B、 $(\frac{31}{24}, \frac{37}{24}]$ C、 $(\frac{31}{24}, \frac{47}{24}]$ D、 $(\frac{31}{24}, \frac{61}{24})$

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8、已知 $f (x)$ 是定义在 $[- 1, 1]$ 上的减函数，且 $f (x - 1) < f (1 - 3 x)$ ，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}]$ B、 $(0, \frac{1}{2})$ C、 $[0, \frac{1}{2})$ D、 $[0, \frac{2}{3}]$

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9、已知复数 $z$ 满足 $\frac{z - 1}{1 + 2 i} = \frac{2}{i}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $5 + 2 i$ B、 $5 - 2 i$ C、 $4 + 2 i$ D、 $4 - 2 i$

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10、函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ，若对于任意的 $x \in (0, + \infty)$ ，都有 $f (k x) = k f (x)$ ， $(k \geq 2, k \in N^{*})$ 成立，则称 $f (x)$ 为 $k$ 阶伸缩函数.

(1)、若函数 $f (x)$ 为2阶伸缩函数，且当 $x \in (1, 2]$ 时， $f (x) = x^{3} + {log}_{\frac{1}{2}} x$ ，求 $f (2 \sqrt{2})$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 为3阶伸缩函数，且当 $x \in (1, 3]$ 时， $f (x) = \sqrt{3 x - x^{2}}$ 求证：函数 $y = f (x) - \sqrt{2} x$ 在 $(1, + \infty)$ 上无零点；

(3)、若函数 $f (x)$ 为 $k$ 阶伸缩函数，且当 $x \in (1, k]$ 时， $f (x)$ 的取值范围是 $[0, 1)$ ，求 $f (x)$ 在 $(0, k^{n + 1}] (n \in N^{*})$ 上的取值范围.

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11、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是 $A B$ ， $P D$ ， $P C$ 的中点.

(1)、若 $A D = P A$ ，求证： $A F ⊥$ 平面 $P D C$ ；

(2)、若二面角 $P - E C - D$ 的正切值为 $\sqrt{2}$ ，且 $A D = \sqrt{2}$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ，求 $E G$ 与平面 $P D E$ 所成角的正弦值.

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12、已知 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $b \sin A = - \sqrt{3} a \cos B$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = \sqrt{7}$ ， $c = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、若 $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点 $D$ ， $B D = 1$ ， $A D = 2 C D$ ，求 $a$ .

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13、如图所示，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是棱长为2的菱形， $∠ A D C = 120^{\circ}$ ， $A A_{1} = 2$ ， $E$ 为 $D D_{1}$ 中点.

(1)、求证： $B D_{1} //$ 平面 $A C E$ ；

(2)、求证： $B D_{1} ⊥ A C$ ；

(3)、求三棱锥 $E - B C B_{1}$ 的体积.

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14、已知 $\vec{a} = (4, - 2)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ .

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 及 $|2 \vec{a} - 3 \vec{b}|$ ；

(2)、若 $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 共线，求 $k$ .

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15、锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $(4 a^{2} - 2 \sqrt{3} a c) cos B =$ $\sqrt{3} (a^{2} + b^{2} - c^{2})$ ，且 $a = 1$ ，则 $△ A B C$ 周长的取值范围为

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16、已知函数 $f (x)$ 对任意 $x \in R$ ，都有 $f (x + 3) + f (x) = 0$ ， $y = f (x)$ 的图象关于原点对称，且 $f (4) = - 2$ ，则 $f (278) =$

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17、水平放置的 $△ A B C$ 的斜二测直观图如图所示，已知 $A^{'} C^{'} = 2$ ， $B^{'} C^{'} = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积为

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18、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $△ A B C$ 外接圆半径是 $R$ ，内切圆半径是 $r$ ，下列说法中正确的是（）

A、若 $A > B$ ，则 $sin A > sin B$ B、若 $\frac{a}{cos B} = \frac{b}{cos A}$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 C、若 $(a + b) : (b + c) : (c + a) = 5 : 6 : 7$ ，则 $\frac{R}{r} = \frac{16}{5}$ D、若 $tan A + tan B + tan C > 0$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形

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19、函数 $f (x) = sin x (sin x + cos x) - \frac{1}{2}$ ，若 $f (x_{0}) = \frac{3 \sqrt{2}}{10}$ ， $x_{0} \in (0, \frac{π}{3})$ ，下列结论正确的是（）

A、 $f (x) = \frac{\sqrt{2}}{2} sin (2 x - \frac{π}{4})$ B、直线 $x = \frac{3 π}{8}$ 是 $f (x)$ 图象的一条对称轴 C、 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{3}]$ 上的最小值为 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $cos 2 x_{0} = \frac{\sqrt{2}}{10}$

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20、已知复数 $z = \frac{2 i}{1 - i}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $z$ 的虚部为 $i$ B、 $\bar{z} = - 1 - i$ C、 $|z| = \sqrt{2}$ D、 $z$ 在复平面内对应的点位于第一象限

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