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相关试卷

1、已知实数 $a ， b$ 满足 $3^{a} = 4^{b}$ ，则下列不等式可能成立的是（）

A、 $b < a < 0$ B、 $2 b < a < 0$ C、 $0 < a < b$ D、 $0 < 2 b < a$

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2、已知点 $P$ 在双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上，且点 $P$ 到 $C$ 的两条渐近线的距离之积等于 $\frac{a^{2}}{2}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、3 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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3、已知球 $O$ 的表面积为 $4 π$ ，一圆台的上、下底面圆周都在球 $O$ 的球面上，且下底面过球心 $O$ ，母线与下底面所成角为 $\frac{π}{3}$ ，则该圆台的侧面积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4} π$ B、 $\frac{3}{2} π$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2} π$ D、 $3 π$

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4、已知集合 $A = \{x ∣ 0 \leq x \leq a\} ， B = \{x ∣ x^{2} - 2 x \leq 0\}$ ，若 $B \subseteq A$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(0, 2]$ C、 $(2, + \infty)$ D、 $[2, + \infty)$

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5、已知函数 $f (x) = \log_{a} (a^{2 x} + 1) - b x (a > 0, a \neq 1, b \in R)$ 为偶函数．
（Ⅰ）求 $b$ 的值；
（Ⅱ）若 $a^{f (1)} = \frac{2}{3} (a^{2} - \frac{1}{a^{2}})$ ，求 $a$ 的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数 $g (x) = f (x) - \log_{a} (k \cdot 2^{x} + 2 \sqrt{2} k) (k > 0)$ 在 $R$ 上只有一个零点，求实数 $k$ 的取值范围．

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6、某企业新研发了一款产品，通过对这款产品的销售情况调查发现：该产品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格 $R (x)$ （单位：元）与时间 $x$ （单位：天）的函数关系近似满足 $R (x) = 10 + \frac{10}{x}$ ，该产品的日销售量 $P (x)$ （单位：个）与时间 $x$ 部分数据如下表所示：
$x$
5
10
15
20
25
30
$P (x)$
105
110
115
120
115
110

(1)、现提供两种函数模型：① $P (x) = a e^{b x}$ ；② $P (x) = a |x - 20| + b$ ，请你根据上表中的数据特征，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该产品的日销售量 $P (x)$ 与时间 $x$ 的函数关系，并求出该函数的解析式；

(2)、求该产品的日销售总收入 $Q (x) (1 \leq x \leq 30, x \in N^{*})$ （单位：元）的最小值.（注：日销售总收入 $=$ 日销售价格 $\times$ 日销售量）

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7、已知函数 $f (x) = (a + 1) x^{2} - x + 1$ ．

(1)、若对 $\forall x \in [1, 3]$ ， $f (x) \geq 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a > 0$ 时，求关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq x^{2} + a x$ 的解集．

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8、写出使“不等式 $a^{x} < a^{x - 2}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）对一切实数 $x$ 都成立”的 $a$ 的一个取值．

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9、请写出一个在 $(0, + \infty)$ 上单调递减且为偶函数的幂函数．

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10、函数 $f (x)$ 满足 $f (1 - x) + f (1 + x) = x^{2} + 1$ ， $f (2 + x) = f (2 - x) + 4 x$ ， $x \in R$ ，则（）

A、 $f (3) = \frac{9}{2}$ B、 $f (2) + f (4) = 6$ C、 $y = f (x + 2) - 2 x$ 为偶函数 D、当 $x \geq 0$ 时， $f (x + 4) - f (x) \geq 8$

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11、下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x) = x^{3}$ 的对称中心是 $(0, 0)$ B、方程 $x^{2} - x + m = 0$ 有一个正根一个负根，则 $m < 0$ C、不等式 $k x^{2} + k x - 1 < 0$ 对一切实数 $x$ 恒成立，则 $- 4 < k < 0$ D、 $x_{0}$ 是函数 $f (x) = e^{x} + x - 4$ 的零点，则 $1 < x_{0} < 2$

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} e^{x + 1}, x \leq 1 \\ - f (x - 1), x > 1 \end{array}$ 则 $f (2024 - ln 3) =$ （）

A、 $- \frac{1}{3} e^{}$ B、 $- \frac{1}{2} e^{2}$ C、 $\frac{1}{3} e^{3}$ D、 $\frac{1}{2} e^{2}$

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13、钱学森弹道，即“助推—滑翔”弹道，是著名科学家钱学森于1984年提出的，该弹道设计具有非常高的科学性和实用性，将弹道导弹和飞航导弹的轨迹融合，使导弹同时具备突防性和灵活性，作战能力显著增强据报道，2019年国庆大阅兵亮相的部分东风系列中程和洲际导弹就采用了该弹道设计，这极大地提升了我国的国防实力.关心国防建设的某高一学生，在学习了“函数的应用”后，用 $y = \frac{b x}{1 + a x^{2}}$ 的图象拟合某一钱学森弹道，其中 $x$ （千公里）表示弹道横向位移， $y$ （千公里）表示弹道纵向位移，在网络公开平台可获得两组数据： $x = 1, y = \frac{1}{4}; x = 3, y = \frac{3}{28}$ ，则 $a, b$ 分别为（）

A、 $1, 3$ B、 $3, 1$ C、 $- 3, - \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}, - 3$

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14、设 $f (x)$ 为定义的实数集上的偶函数，且 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上是增函数， $f (- 3) = 0$ ，则 $f (3^{x} - 6) < 0$ 的解集为

A、 $(1, 2)$ B、 $(- \infty, 1) \cup [\log_{3} 6, 2)$ C、 $(- \infty, 2)$ D、 $(- \infty, 1) \cup (2, + \infty)$

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15、已知 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图像可由 $y = 2 sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到 C、 $f (x)$ 的对称轴为 $x = \frac{5 π}{12} + k π (k \in Z)$ D、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{11 π}{6}, 2 π]$ 上的最大值为 $\sqrt{3}$

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16、数学家高斯在研究整数问题时，发明了取整符号 $[x]$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，例如 $[1] = 1$ ， $[2.3]= 2,[- 1.5] = - 2$ ．

(1)、分别求函数 $y = [sin x]$ 和 $y = [x]$ 的值域；

(2)、若 $f (x) = min \{x e^{x}, \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}\}$ ，求函数 $y = [f (x)]$ 的值；

(3)、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 4, a_{n + 1} = \sqrt{a_{n} + 22} - \sqrt{a_{n} + 1} (n \in N^{*}), S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，求 $[S_{n}]$ 的值．

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17、已知椭圆 $E_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点 $P (0, 1)$ 在 $E_{1}$ 上．

(1)、求 $E_{1}$ 的方程；

(2)、设椭圆 $E_{2} : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = m (m > 1)$ ．若过 $P$ 的直线 $l$ 交 $E_{1}$ 于另一点 $Q, l$ 交 $E_{2}$ 于 $A, B$ 两点，且 $A$ 在 $x$ 轴上方．
（ⅰ）证明： $|A P| = |B Q|$ ；
（ⅱ） $O$ 为坐标原点． $C$ 为 $E_{2}$ 右顶点．设 $A$ 在第一象限内， $\vec{B P} = 2 \vec{P A}$ ，是否存在实数 $m$ 使得 $△ O B P$ 的面积与 $△ C P A$ 的面积相等？若存在，求 $m$ 的值；若不存在，说明理由．

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18、如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 均在直线 $l$ 上，且 $A B = B C = C D = D E = 1$ ，质点 $M$ 与质点 $N$ 均从点 $C$ 出发，两个质点每次都只能向左或向右移动1个单位长度，两个质点每次移动时向左移动的概率均为 $\frac{1}{4}$ ，每个质点均移动2次.已知每个质点移动2次后到达的点所对应的积分如下表所示，设随机变量 $X$ 为两个质点各自移动2次后到达的点所对应的积分之和.

$A$
$B$
$C$
$D$
$E$
积分
$- 200$
$- 100$
0
100
200

(1)、求质点 $M$ 移动2次后到达的点所对应的积分为0的概率；

(2)、求随机变量 $X$ 的分布列及数学期望.

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19、如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $△ B C D$ 是边长为2的等边三角形， $A B = A D$ 且 $A B ⊥ A D$ ，沿 $B D$ 将 $△ B C D$ 折起，使点 $C$ 到达点 $P$ ．

(1)、求证： $P A ⊥ B D$ ：

(2)、当三棱锥 $P - A B D$ 体积最大时，求平面 $A P D$ 与平面 $B P D$ 夹角的余弦值．

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20、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $c sin B = \sqrt{3} b cos C$ ．

(1)、求角 $C$ ：

(2)、若 $a + b = 5, c = \sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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$x$	5	10	15	20	25	30
$P (x)$	105	110	115	120	115	110

	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$
积分	$- 200$	$- 100$	0	100	200