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相关试卷

1、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{2} = 3$ ， $S_{5} = 25$ ，则 $a_{3} + 2 a_{6} =$ （）

A、17 B、21 C、23 D、27

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2、若复数z满足 $z (1 + i) = 1 - 3 i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{10}$

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3、已知集合 $A = \{x| 2^{x} < 4\}$ ， $B = \{1, 2, 3, 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{3, 4\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4\}$

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4、已知函数 $f (x) = \frac{a}{2} x^{2} - x + \ln x$ .
（1）若函数 $f (x)$ 在定义域内是增函数，求实数 $a$ 的取值范围；
（2）当 $a \in [1, e)$ 时，讨论方程 $f (x) = a x - \frac{a}{2}$ 根的个数.

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5、设 $\{a_{n}\}$ 是等差数列， $\{b_{n}\}$ 是等比数列，满足 $a_{2} + a_{6} = 18$ ， $a_{4} a_{8} = 153$ ，且 $a_{1} = b_{1}$ ， $a_{4} = b_{2}$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $x_{n + 1} - x_{n} = b_{n}$ ，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，依次连接点 $P_{1} (x_{1}, 1)$ ， $P_{2} (x_{2}, 2)$ ， $\dots$ ， $P_{n + 1} (x_{n + 1}, n + 1)$ 得到折线 $P_{1} P_{2} \dots P_{n} P_{n + 1}$ ，求由该折线与直线 $y = 0$ ， $x = x_{1}$ ， $x = x_{n + 1}$ 所围成的区域的面积 $T_{n}$ ．

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} + \frac{1}{3} a_{n} = 1 (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = {log}_{4} (1 - S_{n + 1}) (n \in N^{*})$ ， $T_{n} = \frac{1}{b_{1} b_{2}} + \frac{1}{b_{2} b_{3}} + \dots + \frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}$ ，求使 $T_{n} \geq \frac{506}{1013}$ 成立的最小的正整数 $n$ 的值．

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7、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + a x + b$ 的图象在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程是 $3 x + y - 2 = 0$ ．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间．

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8、若函数 $f (x) = x e^{x} + a x$ 有两个极值点，则 $a$ 的取值范围为

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9、甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有种.（请用数字作答）

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10、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且对任意的 $n \in N^{*}$ 都有 $a_{n + 1} = a_{n} + n + 1$ ，则 $a_{6} =$ ．

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11、定义：设 $f (x)$ 为三次函数， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数， $f^{″} (x)$ 是 $f^{'} (x)$ 的导函数，若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x_{0}$ ，则称点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 为三次函数 $y = f (x)$ 图象的“拐点”．经过探究发现：任意三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ 图象的“拐点”是其对称中心．已知三次函数 $f (x) = a x^{3} - x^{2} + b (a \neq 0)$ 的极大值点和极小值点分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且有 $x_{1} + x_{2} = f (x_{1}) + f (x_{2}) = 2$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $a = \frac{1}{3}$ ， $b = \frac{5}{3}$ B、方程 $f (x) - 1 = 0$ 有三个根 C、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = t$ 在区间 $[0, 3]$ 上有两解，则 $t = \frac{1}{3}$ 或 $\frac{5}{3}$ D、函数 $f (x)$ 图象的对称中心为 $(1, 1)$

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12、已知 ${(x - \frac{1}{2 x})}^{n}$ 的展开式的第2项与第3项系数的和为3，则（）

A、 $n = 8$ B、展开式的各项系数的和为 $\frac{1}{32}$ C、展开式中奇数项的二项式系数的和为128 D、展开式的常数项为第5项

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13、定义在 $[- 1, 3]$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(1, 3)$ 上单调递减 B、函数 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上单调递减 C、函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得最小值 D、函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处取得极大值

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14、南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设 $a$ 、 $b$ 、 $m (m > 0)$ 为整数，若 $a$ 和 $b$ 被 $m$ 除得余数相同，则称 $a$ 和 $b$ 对模 $m$ 同余，记为 $a \equiv b (\mod m)$ ．已知 ${(2 x - 1)}^{2025} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \dots + a_{2025} x^{2025} (x \in R)$ ，若 $a = |a_{0}| + |a_{1}| + |a_{2}| + \dots + |a_{2025}|$ ， $a \equiv b (\mod 4)$ ，则 $b$ 的值可以是（）

A、 $2023$ B、 $2024$ C、 $2025$ D、 $2026$

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15、已知 $a = \frac{1}{8}$ ， $b = ln \frac{5}{4}$ ， $c = sin \frac{1}{8}$ ，则（）

A、 $a > c > b$ B、 $a > b > c$ C、 $c > b > a$ D、 $b > a > c$

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16、设直线 $y - 1 = (n + 1) (x - 1)$ 与 $x$ 轴的交点的横坐标为 $x_{n}$ ，则 $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot x_{4} \cdot \dots \cdot x_{2024} =$ （）

A、 $\frac{2025}{2026}$ B、 $\frac{1}{2024}$ C、 $\frac{1}{2025}$ D、 $\frac{1}{2026}$

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17、已知函数 $y = f (x)$ 的图象如图所示， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，则下列式子正确的是（）

A、 $f^{'} (3) > f^{'} (2)$ B、 $f^{'} (3) < f (3) - f (2)$ C、 $f^{'} (2) < f (3) - f (2)$ D、 $f (3) - f (2) < 0$

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18、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2$ ，记 $f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数，则 $f (1) + f^{'} (1) =$ （）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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19、已知 ${(1 + 3 x)}^{n}$ 的展开式共有9项，则 $n$ 的值为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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20、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = k P A$ ，点 $O$ ， $D$ 分别是 $A C$ ， $P C$ 的中点. $O P ⊥$ 底面 $A B C$ .

(1)、求证： $O D / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、当 $k$ 取何值时， $O$ 在平面 $P B C$ 内的射影恰好为 $△ P B C$ 的重心？

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