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相关试卷

1、台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台ABCD，其中 $A D = \frac{3}{5} A B$ ，现从角落A沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，则 $\tan α$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{9}{5}$ D、 $\frac{3}{2}$

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2、若正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的内切球的表面积为 $16 π$ ，则此正方体最多可容纳半径为1的小球的个数为（）

A、7个 B、8个 C、9个 D、10个

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3、三人被邀请参加一个晚会，若晚会必须有人去，去几人自行决定，则恰有一人参加晚会的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{3}{8}$

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4、已知向量 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $\vec{b} = (x, 3)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $- 6$ D、6

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5、已知i是虚数单位，则复数 $i^{5} - \frac{2 i}{1 + i} =$ （）

A、-1 B、i C、 $- i$ D、1

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6、某省为全运会选拔跳水运动员，对某运动员进行测试，在运动员跳完一个动作之后由7名裁判打分，统计结果为平均分9.5分，方差为a，为体现公平，裁判委员会决定去掉一个最高分10分，一个最低分9分，则（）

A、平均分变大，方差变大 B、平均分变小，方差变小 C、平均分不变，方差变大 D、平均分不变，方差变小

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7、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $C = \frac{π}{3}$ .

(1)、若 $B C = 3, A C = 1, ∠ B C A$ 的内角平分线交 $A B$ 于点 $D$ ，求 $C D$ 的长；

(2)、若 $∠ B A C$ 与 $∠ A B C$ 的内角平分线相交于点 $O, △ A B C$ 的外接圆半径为2，求 $A O + B O$ 的最大值.

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8、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C, A B = 2 A C, ∠ A B C = 30^{°}, D, E$ 分别为棱PC，PB的中点.

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $A D E$ ；

(2)、若 $P A = A C$ ，求二面角 $E - A C - B$ 的大小.

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9、已知向量 $\vec{a} = (\cos x + \sin x, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (\cos x - \sin x, \sin 2 x)$ ， $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域；

(2)、求函数 $f (x)$ 图象的对称中心坐标和对称轴方程．

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10、已知 $A B$ 是球O的直径， $A B = 4$ ， C，D是球面上两点， $C D ⊥ A B$ ， $C D = 2$ ， $A B$ 与平面 $C O D$ 所成的角为 $60^{\circ}$ ，则四面体 $A B C D$ 的体积为.

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11、已知 $α \in (0, π)$ ， $\tan 2 α = \frac{\sin α}{1 + \cos α}$ ，则 $α =$ ．

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12、某市场有四类食品，其中粮食类、蔬菜类、肉类和水果类分别有10种、20种、20种和50种，现在从中抽取一个容量为50的样本进行食品安全检测，若采用按比例分配的分层抽样的方法抽取样本，则抽取的粮食类和水果类的样本数之和为．

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13、已知O是 $△ A B C$ 所在平面内一点，则下列结论正确的是（）

A、若 $(\vec{A B} + \vec{A C}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 B、若 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} < 0$ ，则 $△ A B C$ 为钝角三角形 C、若O为 $△ A B C$ 的垂心， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 3$ ，则 $\vec{A O} \cdot \vec{A B} = 3$ D、若 $\vec{A O} = λ (\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} | \sin B} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} | \sin C}) (λ \in R)$ ，则点O的轨迹经过 $△ A B C$ 的重心

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14、如图，已知圆锥MO，AB是底面圆的直径，点C为圆周上的一个动点，圆锥的高与底面半径都等于8，则下列说法正确的是（）

A、圆锥的母线长为 $8 \sqrt{2}$ B、圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为 $\frac{1}{2}$ C、当三棱锥 $B - A C M$ 的体积最大时， $O C ⊥ A B$ D、若 $\overset{⌢}{A C} = \frac{1}{3} \overset{⌢}{A B}$ ，则异面直线MB与AC所成的角的正弦值为 $\frac{\sqrt{14}}{4}$

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15、今年“五一”假期，各大商业综合体、超市等纷纷抓住节日商机，积极开展各类促销活动．在某超市购买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客小王中奖的概率为0.4，顾客小张中奖的概率为0.2，则（）

A、小王和小张都中奖的概率为0.1 B、小王和小张都没有中奖的概率为0.46 C、小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44 D、小王和小张中至多有一个人中奖的概率为0.92

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16、如图所示直三棱柱 $A B C - D E F$ 容器中， $A B = B C$ 且 $A B ⊥ B C$ ，把容器装满水(容器厚度忽略不计)，将底面BCFE平放在桌面上，放水过程中当水面高度为AB的一半时，剩余水量与原来水量之比的比值为( )

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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17、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (ω > 0, A > 0, 0 \leq φ \leq π)$ 的部分图象如图所示，且 $f (0) = 1$ ，则（）

A、 $f (x) = 2 sin (x + \frac{π}{3})$ B、 $f (x) = 2 sin (2 x - \frac{π}{3})$ C、 $f (x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{6})$ D、 $f (x) = 2 sin (x + \frac{π}{6})$

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18、下列说法正确的是（）

A、棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B、棱柱的侧面都是全等的平行四边形 C、有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D、用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台

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19、中国古建筑具有悠久的历史，屋顶的设计形式有硬山、悬山、攒尖、歇上、庑殿等，具有独特的线条美感，其曲线之美让人称奇．曲线的曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标，定义如下：若 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数， $f^{″} (x)$ 是 $f^{'} (x)$ 的导函数，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x, f (x))$ 处的曲率 $K = \frac{f^{″} (x)}{{\{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}\}}^{\frac{3}{2}}}$ ．

(1)、若曲线 $f (x) = e^{x} + x + 1$ 与 $g (x) = \sqrt{x + 1} + 1$ 在 $(0, 2)$ 处的曲率分别为 $K_{1}$ ， $K_{2}$ ，求证： $K_{2} > K_{1}$ ；

(2)、求曲线 $h (x) = \sin x + \cos x (x \in R)$ 曲率的平方 $K^{2}$ 的最大值．

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20、已知A，B两点的坐标分别为 $(- 1, 0)$ ， $(1, 0)$ ．直线AM与BM交于点M，且它们的斜率之积是3．

(1)、求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状；

(2)、过点 $P (1, 1)$ 的直线与点M的轨迹所在的曲线相交于C，D两点，P能否是线段CD的中点?为什么?

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