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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 3 x$ ，其导函数为 $y = f^{'} (x)$ ，下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 的单调减区间为 $(- 1, 3)$ B、函数 $y = f (x)$ 的极小值是 $- 9$ C、函数 $y = f (x)$ 的图像有条切线方程为 $y = - 3 x - 1$ D、点 $(1, - \frac{11}{3})$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称中心

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2、已知 ${(3 x + 1)}^{n}$ 的展开式中含 $x^{2}$ 项的系数为324，若 ${(3 x + 1)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ ，则（）

A、 $n = 9$ B、 $a_{4} = 10206$ C、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = 4^{n}$ D、当 $x = 4$ 时， ${(3 x + 1)}^{n}$ 被6除的余数为1

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3、某班级共有44位同学，在一次春季研学活动中，要按学号顺序抽取两位同学担任活动的负责人，并使抽到的学号将其余同学仍按学号顺序自然分成三组，且要求每组的人数均大于零且是3的倍数，则两位负责人的选取方法种数是（）

A、55 B、66 C、78 D、132

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4、已知函数 $f (x) = |\log_{2} x|$ ，正实数m，n满足 $m < n$ ，且 $f (m) = f (n)$ ，若 $m + n = \frac{5}{2}$ ，则 $f (x)$ 在区间 $[m^{2}, n]$ 上的最大值为（）

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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5、一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个，每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率是（）

A、 $\frac{7}{24}$ B、 $\frac{7}{15}$ C、 $\frac{5}{8}$ D、 $\frac{5}{14}$

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6、关于下列命题，其中不正确的是（）

A、若 $E (X) = 2$ ，则 $E (2 X + 1) = 5$ B、若 $D (X) = 3$ ，则 $D (2 X + 1) = 12$ C、已知随机变量 $X ~ B (4, \frac{1}{2})$ ，则 $E (X) = 2$ ， $D (X) = 1$ D、已知随机变量 $ξ ~ N (4, \frac{1}{2})$ ，若 $P (ξ \geq 6) = \frac{1}{5}$ ，则 $P (4 < ξ < 6) = \frac{3}{5}$

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7、命题“ $\forall x \in R$ ， $a x^{2} - 2 x + 1 > 0$ 恒成立”的一个充分不必要条件是（）

A、 $a > 0$ B、 $a > 1$ C、 $0 < a < \frac{1}{2}$ D、 $a > 2$

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8、 $C_{5}^{2} + C_{6}^{2} + C_{7}^{2} + C_{8}^{2} + C_{9}^{2} =$ （）

A、100 B、110 C、120 D、130

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9、函数 $f (x) = \frac{\sqrt{2 - x}}{\ln x}$ 的定义域为（）

A、 $(0, 1) \cup (1, 2]$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $(- \infty, 0) \cup (0, 2]$ D、 $(0, 2]$

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10、已知集合 $A = \{x \in N |1 \leq x \leq 4\}$ ，集合 $B = \{y |y \geq 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[2, 4]$ B、 $[2, + \infty)$ C、 $\{2, 4\}$ D、 $\{2, 3, 4\}$

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11、定义二元函数 $f (m, n) (m, n \in R)$ ，且同时满足：① $f (m, 1) = sin m$ ；② $f (m, n + 1) = f (m, n) + \frac{sin (2 m n - m)}{2 n + 1}$ 两个条件．

(1)、求 $f (\frac{π}{2}, 2)$ 的值；

(2)、当 $0 < m < π$ 时，比较 $f (m, n) (n \in N^{*})$ 和0的大小；

(3)、若 $x = 0$ 为 $g (x) = ln (1 + x) - f (x, 2) + \frac{sin x}{3} + a x^{2}$ 的极大值点，求 $a$ 的取值范围．
附：参考公式：
$sin α cos β = \frac{1}{2} [sin (α + β) + sin (α - β)]$ $cos α sin β = \frac{1}{2} [sin (α + β) - sin (α - β)]$
$cos α cos β = \frac{1}{2} [cos (α + β) + cos (α - β)]$ $sin α sin β = - \frac{1}{2} [cos (α + β) - cos (α - β)]$

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12、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形 $A B C D$ 为正方形， $A B = 2 A A_{1} = 2, E$ ， $F$ 分别为 $A B, C_{1} D_{1}$ 的中点， $P$ 是棱 $B C$ 上的动点（包含端点）．

(1)、请说明当点 $P$ 在何处时， $A_{1}, E, F, P$ 四点在同一平面内；

(2)、当点 $P$ 满足 $4 \vec{B P} = 3 \vec{B C}$ 时，求三棱锥 $P - A_{1} E F$ 的体积 $V_{P - A_{1} E F}$ ；

(3)、设二面角 $A_{1} - E F - P$ 的大小为 $θ$ ，求 $\sin θ$ 的最大值．

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13、动点 $M (x, y)$ 与定点 $F (1, 0)$ 的距离和点 $M$ 到定直线 $l : x = 4$ 的距离的比是常数 $\frac{1}{2}$ ，记点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $m : k x - y - k = 0$ 与曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，
（ⅰ）求 $|A B|$ 的取值范围；
（ⅱ）是否存在实数 $k$ ，使得点 $N (\frac{1}{7}, 0)$ 在线段 $A B$ 的中垂线上？若存在，求出 $k$ 的值；若不存在，说明理由．

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14、某工厂生产了两批次的某种产品，现从两批次的产品中共抽取500件进行检测，根据检测结果（“次品”或“合格品”）得到如下列联表：
生产批次
产品检测结果
合计
次品
合格品
第一批次
10
190
200
第二批次
40
260
300
合计
50
450
500

(1)、根据小概率值 $α = 0.01$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验，能否认为产品检测结果与生产批次有关联？

(2)、用样本估计总体，频率估计概率．现等可能地从两批次中选一批次，再从该批次中随机抽取1件产品．
（ⅰ）求取出的产品是次品的概率；
（ⅱ）已知取出的产品是次品，求它是从第一批次的产品中取出的概率．
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
参考数据：
$α$
0.15
0.10
0.05
0.010
$x_{α}$
2.072
2.706
3.841
6.635

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15、已知在各项为正的等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 3$ ， $a_{2} + 6$ 是 $a_{1}$ 与 $a_{3}$ 的等差中项．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{n}{2} (a_{n + 1} - a_{n})$ ， $n \in N^{*}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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16、已知正四面体ABCD的棱长为 $\sqrt{2}$ ，其顶点都在球O的球面上，点M在棱CD上，且 $\vec{C M} = \frac{3}{4} \vec{C D}$ ，则过点M的平面截球O所得截面的面积最小值为．

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17、若 $\exists x_{0} \in (1, + \infty)$ ， $\frac{1}{x_{0} - 1} \leq m - x_{0}$ ，则实数m的取值范围为．

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18、已知双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ ， O为坐标原点，过双曲线C的右焦点且与x轴垂直的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于点M，N，则 $△ M O N$ 的面积为．

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19、已知 $x = - 1$ 是函数 $f (x) = (x^{2} + a) e^{2 x}$ 的极大值点，则（）

A、函数 $f (x)$ 的极小值为0 B、若 $- 1 < x < 0$ ，则 $f (x^{3}) > f (x)$ C、若 $0 < m < \frac{1}{e^{2}}$ ，则 $y = f (x) - m$ 有3个相异的零点 D、若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ （其中 $x_{2} > x_{1} > - 1$ ），则 $x_{1} + x_{2} < 0$

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20、已知在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $a = 4, sin B + sin C = 2 sin A$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 的周长为12 B、角 $A$ 的最大值为 $\frac{π}{3}$ C、 $△ A B C$ 的面积最小值为 $2 \sqrt{3}$ D、 $△ A B C$ 的面积最大值为 $4 \sqrt{3}$

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生产批次	产品检测结果		合计
生产批次	次品	合格品	合计
第一批次	10	190	200
第二批次	40	260	300
合计	50	450	500

$α$	0.15	0.10	0.05	0.010
$x_{α}$	2.072	2.706	3.841	6.635