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相关试卷

1、如图，设 $O x$ ， $O y$ 是平面内相交成60°角的两条数轴， $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 分别是与 $O x$ ， $O y$ 轴正方向同向的单位向量.若 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ 则把有序数对 $(x, y)$ 叫做向量 $\vec{O P}$ 在坐标系 $O x y$ 中的坐标，记作 $\vec{O P} = (x, y)$ ，已知点 $A$ ， $B$ 分别在 $O x$ ， $O y$ 轴， $\vec{O A} = (m, 0)$ ， $\vec{O B} = (0, n)$ ， $m$ ， $n$ 为非零实数，点 $P$ 满足 $\vec{B P} = 2 \vec{P A}$ .

(1)、求向量 $\vec{O P}$ 在坐标系 $O x y$ 中的坐标；

(2)、若 $\vec{O A} = (1, 0)$ ， $\vec{O P} ⊥ \vec{A B}$ ，求向量 $\vec{O B}$ 在坐标系 $O x y$ 中的坐标；

(3)、求 $\frac{|\vec{O P}|}{|\vec{O A}|}$ 的最小值.

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2、在中国传统文化中，灯笼作为节日和庆典的象征，常常蕴含着丰富的美学与数学设计.灯笼不仅要考虑美观，还要具备结构上的合理性和稳定性.现在有一盏独特的节庆灯笼，它的外形结构包括多个几何体，具体设计如下：顶部装饰：灯笼的顶部是一个正六棱台，上底边长为 $2 a$ ，下底边长为 $4 a$ ，高度为 $2 a$ ；中间结构：灯笼的中部是一个正六棱柱，底面边长为 $4 a$ ，高度为 $4 a$ ；底部基座：灯笼的底部是一个倒置的正六棱台，其形状、大小均与顶部的正六棱台相同.

(1)、求灯笼总体积.

(2)、灯笼所需纸张的总表面积.（备注：灯笼上下底不糊纸.）

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3、已知复数 $z$ 不是纯虚数，且满足 ${|z|}^{2} - 2 z = 1 + 2 i$ .

(1)、求 $|z|$

(2)、若复数 $z$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - s x + t = 0$ （其中 $s$ ， $t$ 为实数）的根，求 $s + t$ .

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4、如图，已知正四面体 $S - A B C$ 中，侧棱长为2， $F$ 为 $A B$ 中点， $E$ 为 $A C$ 中点， $P$ 是 $S E$ 上的动点， $Q$ 是平面 $S C F$ 上的动点，则 $A Q + P Q$ 最小值是.

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5、已知正三角形 $A B C$ 的边长为4，设点 $P$ 是以边 $A B$ 为直径的圆上的动点，则 $\vec{P A} \cdot (\vec{P B} + \vec{P C})$ 的最大值为.

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6、已知复数 $z = \frac{1 + i}{2 - i}$ ，则 $z$ 的虚部为.

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7、《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边 $a$ ， $b$ ， $c$ ，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即： $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} c^{2} - {(\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ ，现有 $△ A B C$ 满足 $a : b : c = 2 : 3 : 4$ ，且 $△ A B C$ 的面积 $S_{△ A B C} = 3 \sqrt{15}$ ，请运用上述公式判断下列命题正确的是（）

A、 $△ A B C$ 周长为9 B、若点 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，则 $\vec{A O} \cdot (\vec{A B} + \vec{A C}) = 50$ C、 $△ A B C$ 内切圆的面积为 $\frac{5}{3} π$ D、 $△ A B C$ 的中线 $A D$ 长为 $\sqrt{46}$

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8、在底面是菱形的四棱锥 $P - A B C D$ 中， $∠ A B C = 60^{\circ}$ ， $P A = A C = a$ ， $P B = P D = \sqrt{2} a$ ，点 $E$ 在 $P D$ 上，且 $P E : E D = 2 : 1$ ，点 $F$ 是棱 $P C$ 的动点，则下列说法正确的是（）

A、 $A F ⊥ B D$ B、三棱锥 $P - A E C$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{36} a^{3}$ C、当 $F$ 是棱 $P C$ 的中点时， $B F //$ 平面 $A E C$ D、直线 $B F$ 与平面 $P A C$ 所成的角的正切值最大为 $\sqrt{6}$

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9、已知 $a$ 为非零实数，复数 $z_{1} = a + \frac{i}{a}$ ， $z_{2} = 2 - i$ ，则（）

A、 $z_{1} z_{2}$ 的实部为 $2 a - \frac{1}{a}$ B、 $|z_{1}|$ 的最小值为 $\sqrt{2}$ C、 $|z_{1} z_{2}| = |z_{1}| |z_{2}|$ D、当 $a = 1$ 时， $\bar{z_{1}} < z_{2}$

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10、在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑 $A - B C D$ 中， $B C = C D = 4$ ， $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ，当该鳖臑的外接球的表面积为 $48 π$ 时，则它的内切球的半径为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{2} - 2$ D、 $\sqrt{3} - 1$

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11、已知三角形 $A B C$ 的重心为 $G$ ，内角A， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ 若 $a \vec{G A} + b \vec{G B} + \frac{\sqrt{2}}{2} c \vec{G C} = \vec{0}$ ，则三角形 $A B C$ 的形状是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形

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12、一艘渔船航行到 $A$ 处时看灯塔 $B$ 在 $A$ 的南偏东30°，距离为6海里，灯塔 $C$ 在 $A$ 的北偏东60°，距离为 $6 \sqrt{3}$ 海里，该渔船由 $A$ 沿正东方向继续航行到 $D$ 处时再看灯塔 $B$ 在其南偏西30°方向，则此时灯塔 $C$ 位于渔船的（）

A、北偏东60°方向 B、北偏西30°方向 C、北偏西60°方向 D、北偏东30°方向

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13、在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，若 $A B = A D = 2$ ， $A A_{1} = 4$ ，则异面直线 $A_{1} B$ ， $A D_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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14、已知 $△ A B C$ 中 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 0$ ， $A B = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $∠ B = 30 °$ ，则 $\vec{B A}$ 在 $\vec{B C}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{4} \vec{B C}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{B C}$

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15、下列选项是真命题的是（）

A、 $\begin{matrix} α ⊥ γ \\ β ⊥ γ \end{matrix}\} \Rightarrow α ⊥ β$ B、 $\begin{matrix} a ⊥ b \\ b ⊥ β \end{matrix}\} \Rightarrow a // β$ C、 $\begin{matrix} m // α \\ n // β \\ m ⊥ n \end{matrix}\} \Rightarrow α ⊥ β$ D、 $\begin{array}{l} α // β \\ α \cap γ = a \\ β \cap γ = b \end{array}\} \Rightarrow a // b$

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16、在 $△ A B C$ 中， $\cos C = - \frac{3}{5}$ ， $B C = 1$ ， $A C = 5$ ，则 $S_{△ A B C} =$ （）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、3 D、4

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17、已知平面向量 $\vec{a} = (1, 1)$ ， $\vec{b} = (2, λ)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、 $- 2$ B、 $2$ C、 $- 1$ D、 $1$

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18、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P B = P C$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点，平面 $P A D ⊥$ 平面 $P B C$ ．

(1)、证明： $A B = A C$ ；

(2)、若 $A B ⊥ A C$ ， $A B = 2$ ， $P A = P D = 1$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P A C$ 的夹角的余弦值．

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19、已知斜率为1的直线与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 交于 $A, B$ 两点，若 $Δ O A B$ 的外心为 $M (O$ 为坐标原点），则当 $\frac{| A B |}{| M O |}$ 最大时， $|A B|$ =.

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20、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ， $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 1$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}| =$ ．

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