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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (5, 12)$ ，则与向量 $\vec{a}$ 反向的单位向量的坐标为（）

A、 $(\frac{5}{13}, \frac{12}{13})$ B、 $(- \frac{5}{13}, - \frac{12}{13})$ C、 $(\frac{12}{13}, - \frac{5}{13})$ D、 $(- \frac{5}{13}, \frac{12}{13})$

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2、设n次多项式 $P_{n} (t) = a_{n} t^{n} + a_{n - 1} t^{n - 1} + \dots + a_{2} t^{2} + a_{1} t + a_{0} (a_{n} \neq 0)$ ，若其满足 $P_{n} (\cos x) = \cos n x$ ，则称这些多项式 $P_{n} (t)$ 为切比雪夫多项式．例如：由 $\cos θ = \cos θ$ 可得切比雪夫多项式 $P_{1} (x) = x$ ，由 $\cos 2 θ = 2 \cos^{2} θ - 1$ 可得切比雪夫多项式 $P_{2} (x) = 2 x^{2} - 1$ ．

(1)、若切比雪夫多项式 $P_{3} (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ ，求实数a，b，c，d的值；

(2)、已知函数 $f (x) = 8 x^{3} - 6 x - 1$ 在 $(- 1, 1)$ 上有3个不同的零点，分别记为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，证明： $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$ ．

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3、将图（1）所示的摩天轮抽象成图（2）所示的平面图形．已知摩天轮的半径为40米，其中心点 $O$ 距地面45米，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每24分钟转一圈．摩天轮上一点 $P$ 距离地面的高度为 $h$ （单位：米），若 $P$ 从摩天轮的最低点处开始转动，则 $h$ 与转动时间 $t$ （单位：分钟）之间的关系为 $h = A \sin (ω t + φ) + k (A > 0, ω > 0, φ \in [- π, π])$ ．

(1)、求 $A$ ， $ω$ ， $φ$ ， $k$ 的值；

(2)、摩天轮转动8分钟后，求点 $P$ 距离地面的高度；

(3)、在摩天轮转动一圈内，求点 $P$ 距离地面的高度超过65米的时长．

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4、已知角 $α$ 是第二象限角， $\sin α = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求 $\cos α$ 和 $sin (α + \frac{π}{4})$ 的值；

(2)、求 $\tan 2 α$ 的值.

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5、函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0, φ \in [0, 2 π))$ 的部分图象如图所示，则 $f (2023) =$ .

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6、（多选）下列命题正确的是（　　）

A、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 都是单位向量，则 $\vec{a} = \vec{b}$ . B、“ $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ”是“ $\vec{a} = \vec{b}$ ”的必要不充分条件 C、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 都为非零向量，则使 $\frac{\vec{a}}{| \vec{a} |}$ ＋ $\frac{\vec{b}}{| \vec{b} |}$ ＝ $\vec{0}$ 成立的条件是 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 反向共线 D、若 $\vec{a} = \vec{b}, \vec{b} = \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{c}$

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7、下列三角式中，值为1的是（）

A、 $4 \sin 15 ° \cos 15 °$ B、 $2 (\cos^{2} \frac{π}{6} - \sin^{2} \frac{π}{6})$ C、 $\frac{2 \tan 22.5 °}{1 - \tan^{2} 22.5 °}$ D、 $\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos \frac{π}{6}}$

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8、已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{6}) + 1$ ，则下列结论成立的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 C、 $f (x)$ 的最小值与最大值之和为0 D、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 上单调递增

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9、如图所示的 $△ A B C$ 中，点 $D$ 是线段 $B C$ 上靠近 $B$ 的三等分点，点 $E$ 是线段 $A B$ 的中点，则 $\vec{D E} =$ （）

A、 $- \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{1}{6} \vec{A C}$ B、 $- \frac{1}{6} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$ C、 $- \frac{5}{6} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$ D、 $- \frac{5}{6} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$

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10、关于向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，下列命题中，正确的是（）

A、若 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、若 $\vec{a} = - \vec{b}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ C、若 $|\vec{a}| > |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} > \vec{b}$ D、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{c}$

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11、已知将函数 $f (x) = \cos 4 x$ 的图象向右平移 $φ (φ > 0)$ 个单位长度后关于原点对称，则 $φ$ 的值可能为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{π}{8}$ D、 $\frac{π}{4}$

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12、为了得到函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象，只需将函数 $g (x) = sin 2 x$ 的图象( )

A、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度

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13、 $\sin 20 ° \cos 10 ° + \sin 10 ° \sin 70 °$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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14、阅读材料：（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线 $G$ ： $A x^{2} + C y^{2} + 2 D x + 2 E y + F = 0$ ，则称点 $P (x_{0}, y_{0})$ 和直线 $l$ ： $A x_{0} x + C y_{0} y + D (x + x_{0}) + E (y + y_{0}) + F = 0$ 是圆锥曲线 $G$ 的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以 $x_{0} x$ 替换 $x^{2}$ ，以 $\frac{x_{0} + x}{2}$ 替换 $x$ ；以 $y_{0} y$ 替换 $y^{2}$ ，以 $\frac{y_{0} + y}{2}$ 替换 $y$ ，即可得到 $P (x_{0}, y_{0})$ 对应的极线方程.特别地，对于椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，与点 $P (x_{0}, y_{0})$ 对应的极线方程为 $\frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ ；对于双曲线 $\frac{x^{2}}{b^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，与点 $P (x_{0}, y_{0})$ 对应的极线方程为 $\frac{x_{0} x}{a^{2}} - \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ ；对于抛物线 $y^{2} = 2 p x$ ，与点 $P (x_{0}, y_{0})$ 对应的极线方程为 $y_{0} y = p (x_{0} + x)$ .即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.（二）极点与极线的基本性质､定理：①当 $P$ 在圆锥曲线 $G$ 上时，其极线 $l$ 是曲线 $G$ 在点 $P$ 处的切线；②当 $P$ 在 $G$ 外时，其极线 $l$ 是从点 $P$ 向曲线 $G$ 所引两条切线的切点所在的直线（即切点弦所在直线）；③当 $P$ 在 $G$ 内时，其极线 $l$ 是曲线 $G$ 过点 $P$ 的割线两端点处的切线交点的轨迹.结合阅读材料回答下面的问题：已知椭圆 $G$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ .

(1)、点 $P$ 是直线 $l$ ： $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 上的一个动点，过点 $P$ 向椭圆 $G$ 引两条切线，切点分别为 $M$ ， $N$ ，是否存在定点 $T$ 恒在直线 $M N$ 上，若存在，当 $\vec{M T} = \vec{T N}$ 时，求直线 $M N$ 的方程；若不存在，请说明理由.

(2)、点 $P$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上，过点 $P$ 作椭圆 $G$ 的两条切线，切点分别为 $A$ ， $B$ ，求 $△ P A B$ 面积的最大值.

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} a_{n + 2} = a_{n + 1}^{2}$ ， $a_{1} = 3$ ， $a_{2} a_{3} = 243$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = {log}_{3} a_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \dots + \frac{1}{S_{n}}$ ．

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16、用平面 $α$ 截圆柱面，圆柱的轴与平面 $α$ 所成角记为 $θ$ ，当 $θ$ 为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家 $D a n d e l i n$ 创立的双球实验证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于 $α$ 的上方和下方，并且与圆柱面和 $α$ 均相切．下列结论中正确的有（）

A、椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等 B、椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距 $O_{1} O_{2}$ 相等 C、所得椭圆的离心率 $e = cos θ$ D、其中 $G_{1} G_{2}$ 为椭圆长轴， $R$ 为球 $O_{1}$ 半径，有 $R = A G_{1} \cdot tan \frac{θ}{2}$

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17、有 $9$ 名歌舞演员，其中 $7$ 名会唱歌， $5$ 名会跳舞，从中选出 $2$ 人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同的选派方法有（）

A、 $19$ 种 B、 $26$ 种 C、 $32$ 种 D、72种

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18、设体积相等的正方体、正四面体和球的表面积分别为 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ ，则（）

A、 $S_{1} < S_{2} < S_{3}$ B、 $S_{2} < S_{1} < S_{3}$ C、 $S_{3} < S_{1} < S_{2}$ D、 $S_{3} < S_{2} < S_{1}$

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19、已知复数z满足 $z + 3 = 4 \bar{z} + 5 i$ ， $i$ 是虚数单位，则 $z^{2} =$ （）

A、 $- 2 i$ B、 $2 i$ C、 $1 + i$ D、 $1 - i$

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20、设集合 $A = \{x| x^{2} - 2 x - 3 \leq 0\}, B = \{x| y = l n (2 - x)\}$ ，则 $A \cap B =$

A、 $[－ 3 ， 2)$ B、 $(2 ， 3]$ C、 $[－ l ， 2)$ D、 $(－ l ， 2)$

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