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相关试卷

1、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M, N$ 分别是 $A B, A D$ 的中点， $P$ 为线段 $C_{1} D_{1}$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、 $P M, B_{1} C$ 一定是异面直线 B、存在点 $P$ ，使得 $M N ⊥ P M$ C、直线 $N P$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正切值的最大值当 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、过 $M, N, P$ 三点的平面截正方体所得截面面积的最大值 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

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2、南北朝时期的伟大科学家祖暅，于五世纪末提出了体积计算原理，即祖暅原理：“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么，这两个几何体的体积相等．其最著名之处是解决了“牟合方盖”的体积问题．如图所示，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，棱长为 $r$ ．

(1)、求图中四分之一圆柱体 $B B_{1} C_{1} - A A_{1} D_{1}$ 的体积；

(2)、在图中画出四分之一圆柱体 $B B_{1} C_{1} - A A_{1} D_{1}$ 与四分之一圆柱体 $A A_{1} B_{1} - D D_{1} C_{1}$ 的一条交线（不要求说明理由）；

(3)、四分之一圆柱体 $B B_{1} C_{1} - A A_{1} D_{1}$ 与四分之一圆柱体 $A A_{1} B_{1} - D D_{1} C_{1}$ 公共部分是八分之一个“牟合方盖”．点 $M$ 在棱 $B B_{1}$ 上，设 $M B_{1} = h$ 过点 $M$ 作一个与正方体底面 $A C$ 平行的平面，求该截面位于八分之一“牟合方盖”内部分的面积；如果令 $r = 2$ ，应用祖暅原理求出八分之一“牟合方盖”的体积．

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3、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $D D_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $B D_{1} / /$ 平面 $A E C$ ；

(2)、 $C C_{1}$ 上是否存在一点 $F$ ，使得平面 $A E C / /$ 平面 $B F D_{1}$ ，若存在，请说明理由.

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4、已知平面向量 $\vec{a} = (2, 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, k)$

(1)、若 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 垂直，求k；

(2)、若向量 $\vec{c} = (5, 1)$ ，若 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $2 \vec{b} - \vec{c}$ 共线，求 $|\vec{a} + 4 \vec{b}|$ .

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5、已知三棱锥 $S - A B C$ 的四个顶点都在球 $O$ 的球面上，且 $S A = B C = 2$ ， $S B = A C = \sqrt{7}$ ， $S C = A B = \sqrt{5}$ ，则球 $O$ 的表面积是．

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6、下列命题正确的是（）

A、已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是两个不共线的向量， $\vec{a} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = 2 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 可以作为平面向量的一组基底 B、在 $△ A B C$ 中， $b = 11$ ， $a = 20$ ， $B = 30 °$ ，则这样的三角形有两个 C、已知 $△ A B C$ 是边长为2的正三角形，其直观图的面积为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、已知 $\vec{a} = (3, - 4)$ ， $\vec{b} = (k, 3)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 的夹角为钝角，则k的取值范围为 $(- \infty, - \frac{1}{6})$

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7、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，M，N分别为 $A B$ ， $A D$ 的中点，P在线段 $C_{1} D_{1}$ 上运动（包含两个端点），以下说法正确的是（）.

A、存在点P，使得 $P M$ 与 $B C_{1}$ 异面 B、三棱锥 $C - M N P$ 的体积与P点位置无关 C、若P为 $C_{1} D_{1}$ 中点，三棱锥 $C - M N P$ 的体积为 $\frac{3}{4}$ D、若P与 $D_{1}$ 重合，则过点M、N、P作正方体的截面，截面为三角形

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8、武灵丛台位于邯郸市丛台公园中心处，为园内的主体建筑，是邯郸古城的象征.某校数学兴趣小组为了测量其高度 $A B$ ，在地面上共线的三点 $C$ ， $D$ ， $E$ 处分别测得点 $A$ 的仰角为 $30 °$ ， $45 °$ ， $60 °$ ，且 $C D = D E = 22 m$ ，则武灵丛台的高度 $A B$ 约为（）
（参考数据： $\sqrt{6} \approx 2.449$ ）

A、22m B、27m C、30m D、33m

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9、在 $△ A B C$ 中， $D$ 为线段 $B C$ 上一点，且 $B D = 2 C D$ ，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $\frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$

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10、已知函数 $f (x) = |x - 2| + m |x + 1|$ .

(1)、当 $m = 2$ 时，求不等式 $f (x) \geq 8$ 的解集；

(2)、若 $m = 1, a > 0, b > 0, a^{3} + b^{3} = \frac{27}{4}$ ，证明： $f (x) \geq a + b$ .

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11、在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l} x = 1 + cos α \\ y = sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数）.以坐标原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $C_{2} : ρ cos θ - ρ sin θ + 2 = 0$ 与坐标 $x, y$ 轴分别交于 $A, B$ 两点.点 $P$ 在线段 $A B$ 是运动（不包括端点），射线 $O P$ 绕 $O$ 点顺时针旋转 $\frac{π}{2}$ ，与曲线 $C_{1}$ 交于 $O 、 Q$ 两点.

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程，并求出 $A, B$ 两点的极坐标；

(2)、当 $△ O P Q$ 面积为1时，求 $P$ 点的直角坐标.

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12、已知函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = \ln x$ .

(1)、若函数 $h (x) = a g (x - 1) - \frac{x + 1}{x - 1}$ ， $a \in R$ ，讨论函数 $h (x)$ 的单调性；

(2)、证明： $\frac{1}{4} (2 x - 1) f (2 x) - f (x) > 2 g (x) - 2$ .（参考数据： $e^{\frac{4}{5}} \approx 2.23$ ， $e^{\frac{1}{2}} \approx 1.65$ ）

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13、已知椭圆 $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点为 $(\sqrt{3}, 0)$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、在直线 $y = - 4$ 上任取一点 $M$ ，设长轴上的两个顶点为 $A, B$ ，连接 $M A, M B$ 分别交椭圆于 $C, D$ 两点，证明：直线 $A D 、 B C$ 的交点在直线 $y = - 4$ 上.

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14、中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”.如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥 $P - A B C D$ ，其中 $A B = A D = A P = 2$ ， $C B = C D = C P = 4$ ， $A C$ 交 $B D$ 于点 $O$ .

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、若 $A C = 2 \sqrt{5}$ ，且二面角 $P - A C - B$ 为 $\frac{2 π}{3}$ ，求直线 $P B$ 与平面 $P A D$ 所成角的正弦值.

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15、已知 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $(a + b) (sin B - sin A) = c [sin (A + B) - sin A]$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若点 $D$ 满足 $\vec{A D} = - 2 \vec{C D}$ ， $|\vec{B D}| = |\vec{A D}|$ ，求 $\frac{c}{a}$ .

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16、随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升.小赵同学对某品牌新能源汽车近5年的广告费投入（单位：亿元）进行了统计，具体数据见下表：
年份代号 $x$
1
2
3
4
5
广告费投入 $y$
4.8
5.6
6.2
7.6
8.8
并随机调查了200名市民对该品牌新能源汽车的认可情况，得到的部分数据见下表
认可
不认可
50岁以下市民
70
30
50岁以上市民
60
40

(1)、求广告费投入 $y$ 与年份代号 $x$ 之间的线性回归方程；

(2)、是否有90%的把握认为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度具有相关性？

(3)、若以这200名市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度情况估计整体情况，则从全市市民中随机选取20人，记选到认可该品牌新能源汽车且50岁以上的市民人数为 $X$ ，求 $X$ 数学期望与方差.
附：①回归直线中 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；
② $k^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$P (k^{2} \geq k_{0})$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$k_{0}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

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17、若不等式 $e^{m x} (m x - \ln 2) - x \ln x^{2} \geq 0$ ，对任意 $x \in [\frac{1}{e}, + \infty)$ 恒成立，则正实数 $m$ 的取值范围是.

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18、函数 $f (x) = \ln \frac{m - x}{2 + x}$ 的图象过原点，且 $g (x) = \frac{e^{λ x} - e^{- λ x}}{2} + f (x) + m$ ，若 $g (a) = 6$ ，则 $g (- a) =$ .

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19、已知 ${(1 - 2 x)}^{2024} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ... + a_{2024} x^{2024}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... + a_{2024} =$ .

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20、设数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，且 $a_{2} + a_{3} + a_{4} = 2, a_{3} + a_{4} + a_{5} = 4$ ，则 $a_{7} + a_{8} + a_{9} =$ .

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$P (k^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

年份代号 $x$	1	2	3	4	5
广告费投入 $y$	4.8	5.6	6.2	7.6	8.8

	认可	不认可
50岁以下市民	70	30
50岁以上市民	60	40