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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \sin 2 x + 2 \sqrt{3} \cos^{2} x - \sqrt{3}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x) \geq - 2$ C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 D、 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{4}, 0)$ 上单调递增

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2、长篇评弹《玉蜻蜓》在江南可谓家喻户晓，是苏州评弹的一颗明珠.为了让更多年轻人走近评弹､爱上经典，苏州市评弹团在保留原本精髓的基础上，打造了《玉蜻蜓》精简版，将长篇压缩至三场，分别是《子归》篇､《认母》篇､《归宗》篇.某班级开展对《玉蜻蜓》的研究，现有三位学生随机从三篇中任意选一篇研究，记“三人都没选择《子归》篇”为事件M，“至少有两人选择的篇目一样”为事件N，则下列说法正确的是（）

A、M与N互斥 B、 $P (M) = P (M N)$ C、M与N相互独立 D、 $P (M) + P (N) < 1$

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3、在 $△ A B C$ 中，已知 $\cos 2 A + \cos 2 B = 2 \cos^{2} C$ ，则 $△ A B C$ 的形状一定为（）

A、等腰三角形 B、锐角三角形 C、直角三角形 D、钝角三角形

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4、已知 $l$ ， $m$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $l // m$ ， $l // α$ ， $m // β$ ，则 $α // β$ B、若 $l ⊥ m$ ， $l ⊥ α$ ， $m // β$ ，则 $α // β$ C、若 $α // β$ ， $l \subset α$ ， $m \subset β$ ，则 $l // m$ D、若 $l ⊥ m$ ， $l ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$

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5、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $b = \sqrt{6}$ ， $c = 2$ ， $B = 60 °$ ，则 $A =$ （）

A、 $45 °$ B、 $60 °$ C、 $75 °$ D、 $105 °$

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6、某科研单位对ChatGPT的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，估计这批用户问卷的得分的第 $75$ 百分位数为（）

A、78.5 B、82.5 C、85 D、87.5

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7、某射击运动员射击6次，命中的环数如下：7，9，6，9，10，7，则关于这组数据的说法正确的是（）

A、极差为10 B、中位数为7.5 C、平均数为8.5 D、标准差为 $\sqrt{2}$

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8、 $\sin 164^{\circ} \sin 44^{\circ} - \cos 16^{\circ} \sin 46^{\circ} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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9、设 $i$ 为虚数单位，已知复数 $z = \frac{1}{1 + i}$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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10、如图，已知各边长为4的五边形 $A B F C D$ 由正方形 $A B C D$ 及等边三角形 $B C F$ 组成，现将 $△ B C F$ 沿 $B C$ 折起，连接 $F A, F D$ ，得到四棱锥 $F - A B C D$ ，且二面角 $F - B C - A$ 的正切值为 $\sqrt{2}$ ．

(1)、求证：四棱锥 $F - A B C D$ 为正四棱锥；

(2)、求平面 $F A D$ 与平面 $F B C$ 所成的锐二面角的余弦值；

(3)、若点 $E$ 是侧棱 $F C$ 上的动点，现要经过点 $E$ 作四棱锥 $F - A B C D$ 的截面，使得截面垂直于侧棱 $F C$ ，试求截面面积的最大值．

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11、（1）已知 $α \in (0, \frac{π}{2}), β \in (\frac{π}{2}, π)$ ，且 $sin (α + β) = - \frac{3}{5}, sin α = \frac{63}{65}$ ．求 $\cos β$ 的值；
（2）已知 $2 sin (2 α - β) + sin β = 0$ ，且 $α - β \neq \frac{π}{2} + k π, α \neq \frac{k π}{2}, k \in Z$ ．求 $\frac{tan (α - β)}{tan α}$ 的值．

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12、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为棱 $D D_{1}$ 的中点．

求证：（1） $B D_{1}$ ∥平面 $E A C$ ；
（2）平面 $E A C$ ⊥平面 $A B_{1} C$

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13、已知三种不同的元件 $X, Y, Z$ ，其中元件 $X, Y$ 正常工作的概率分别为 $0.6, 0.8$ ，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响．

(1)、用元件 $X, Y$ 连接成系统 $S$ （如左图），当元件 $X, Y$ 都正常工作时，系统 $S$ 正常工作．求系统 $S$ 正常工作的概率；

(2)、用元件 $X, Y, Z$ 连接成系统 $T$ （如右图），当元件 $X$ 正常工作且 $Y, Z$ 中至少有一个正常工作时，系统 $T$ 正常工作．若系统 $T$ 正常工作的概率为 $0.57$ ，求元件 $Z$ 正常工作的概率．

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14、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $2 c cos B = a cos B + b cos A$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = \sqrt{13}$ ， $3 a = 4 c$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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15、已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，其中较大圆锥的体积是较小圆锥的体积的 $3$ 倍，若这两个圆锥的体积之和为 $4 π$ ，则球的体积为．

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16、在 $△ A B C$ 中， $tan A = \frac{1}{4}, tan B = \frac{3}{5}$ ，若 $△ A B C$ 最短边的长为 $\sqrt{2}$ ，则最长边的长为．

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17、已知 $x > 0, y > 0$ ，且 $x y = 9$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为．

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18、在 $△ A B C$ 中， $A C = 4, A B = 5, B C = 6, D$ 为 $A C$ 的中点， $E$ 为 $B D$ 的中点，延长 $A E$ 交线段 $B C$ 于点 $F$ ，则（）

A、 $A E = \frac{3 \sqrt{14}}{4}$ B、 $\vec{A E} = 3 \vec{E F}$ C、 $△ B E F$ 的面积为 $\frac{5 \sqrt{7}}{8}$ D、 $\vec{A E} \cdot \vec{B C} = - \frac{63}{8}$

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19、已知直线 $a, l$ ，平面 $α, β, γ$ ，则下列结论正确的有（）

A、若 $α ∥ β, β ∥ γ$ ，则 $α ∥ γ$ B、若 $α ⊥ β, β ⊥ γ$ ，则 $α ⊥ γ$ C、若 $α ⊥ γ, β ⊥ γ, α \cap β = l$ ，则 $l ⊥ γ$ D、若 $a ∥ α, a ∥ β, α \cap β = l$ ，则 $a ∥ l$

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20、一组样本数据如下： $82, 83, 85, 85, 87, 88$ ，则该组数据的（）

A、极差为6 B、平均数为85 C、方差为26 D、第80百分位数为87.5

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