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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中， $B C ⊥$ 平面 $A B E$ ， $B C / / A D$ ，且 $A D = 2 B C = 2$ ， $F$ 是 $D E$ 的中点．

(1)、证明： $D A ⊥ C F$ ；

(2)、若 $B A = B E = 2$ ，直线 $C F$ 与直线 $D B$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ ．
（ⅰ）求直线 $D E$ 与平面 $A B E$ 所成角；
（ⅱ）求二面角 $E - D C - B$ 的余弦值．

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2、已知函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{3}) + cos (2 x + \frac{π}{6}) - 2 \sin x \cos x .$

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及对称轴方程；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $y = g (x)$ 在[0，2π]上的单调递减区间.

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3、已知 $\vec{a} = (- 1, 0)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ .

(1)、若 $\vec{A B} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{B C} = \vec{a} + m \vec{b}$ 且 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点共线，求 $m$ 的值.

(2)、当实数 $k$ 为何值时， $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 垂直？

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4、已知 $tan (α - \frac{π}{4}) = 2$ ，则 $5 sin 2 α - {sin}^{2} α =$ .

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5、如图，已知由斜二测画法得到的水平放置的四边形ABCD的直观图是一个边长为1的正方形，则原图形的面积为.

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6、在四面体 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面ABC， $A B = B C = \sqrt{2} ， P A = A C = 2$ ，点 $M \in P B ， N \in P C$ ， Q为AC的中点， $Q H ⊥ P C$ ，垂足为H，连结BH，则正确的结论有（）

A、平面 $B Q H ⊥$ 平面PBC B、若平面 $A M N ⊥$ 平面PBC，则一定有 $A M ⊥ P B$ C、若平面 $A M N ⊥$ 平面PBC，则一定有 $A N ⊥ P C$ D、点R是平面PBC上的动点， $A R = \sqrt{2}$ ，则当直线AR与BC所成角最小时，点R到直线AB的距离为 $\frac{\sqrt{10}}{3}$

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7、将函数 $f (x) = \cos (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到如图所示的奇函数 $g (x)$ 的图象，且 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{4}$ 对称，则下列选项不正确的是（）

A、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{2π}{3}, π]$ 上为增函数 B、 $f (\frac{π}{2}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $f (\frac{1}{2}) > f (0)$ D、 $f (- 1) + f (0) < 0$

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8、如图，在 $△ A B C$ 中，M为线段 $B C$ 的中点，G为线段 $A M$ 上一点， $\vec{A G} = 2 \vec{G M}$ ，过点G的直线分别交直线 $A B$ ， $A C$ 于P，Q两点， $\vec{A B} = x \vec{A P} (x > 0)$ ， $\vec{A C} = y \vec{A Q} (y > 0)$ ，则 $\frac{4}{x} + \frac{1}{y + 1}$ 的最小值为（）．

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、3 D、9

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9、函数 $f (x)$ = $\cos (ω x + φ)$ 的部分图像如图所示，则 $f (x)$ 的单调递减区间为

A、 $(k π - \frac{1}{4}, k π + \frac{3}{4}), k \in Z$ B、 $(2 k π - \frac{1}{4}, 2 k π + \frac{3}{4}), k \in Z$ C、 $(k - \frac{1}{4}, k + \frac{3}{4}), k \in Z$ D、 $(2 k - \frac{1}{4}, 2 k + \frac{3}{4}), k \in Z$

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10、设非零向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}|$ ， $\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$ ，则向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角等于（）

A、 $150 °$ B、 $120 °$ C、 $60 °$ D、 $30 °$

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11、如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知侧面 $C D D_{1} C_{1}$ 为矩形， $∠ B A D = ∠ A B C = 60 °$ ， $A B = 3$ ， $A D = 2$ ， $B C = 1$ ， $A A_{1} = \sqrt{17}$ ， $\vec{A E} = 2 \vec{E A_{1}}$ ， $\vec{A F} = 2 \vec{F B}$ .

(1)、求证：平面 $D E F$ $∥$ 平面 $A_{1} B C$ ；

(2)、求证：平面 $A D D_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(3)、若三棱锥 $E - A_{1} B C$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求平面 $A_{1} B C$ 与平面 $A B C D$ 的夹角的余弦值.

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12、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，已知 $A = \frac{π}{3}$ ， $A B = 2$ ， $A D = 1$ ， $E$ 为线段 $A B$ 的中点， $F$ 为线段 $B C$ 上的动点（不含端点）.记 $\vec{B F} = m \vec{B C}$ .

(1)、若 $m = \frac{1}{2}$ ，求线段EF的长；

(2)、若 $m = \frac{1}{4}$ ，设 $\vec{A B} = x \vec{C E} + y \vec{D F}$ ，求实数 $x$ 和 $y$ 的值；

(3)、若 $C E$ 与 $D F$ 交于点 $G$ ， $\vec{A G} ∥ \vec{E F}$ ，求向量 $\vec{G E}$ 与 $\vec{G F}$ 的夹角的余弦值.

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13、如图，在平面四边形ABCD中，已知AC与BD交于点E，且E是线段BD的中点， $△ B C E$ 是边长为1的等边三角形.

(1)、若 $\sin ∠ A B D = \frac{\sqrt{21}}{14}$ ，求线段AE的长；

(2)、若 $A B : A D = \sqrt{13} : \sqrt{7}$ 且 $A E < B D$ ，求 $\sin ∠ A D C$ .

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14、一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件 $A =$ “第一次摸到红球”， $B =$ “第二次摸到黑球”， $C =$ “摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”.

(1)、用数组 $(x_{1}, x_{2})$ 表示可能的结果， $x_{1}$ 是第一次摸到的球的标号， $x_{2}$ 是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间 $Ω$ ；

(2)、分别求事件A，B，C发生的概率；

(3)、求事件A，B，C中至少有一个发生的概率.

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15、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，已知底面ABCD为矩形， $P A ⊥$ 底面ABCD， $P A = A B$ ， E，F，G分别为线段AD，BC，PB的中点.

(1)、求证： $A G ⊥$ 平面PBC；

(2)、求证： $P E //$ 平面AFG.

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16、在 $△ A B C$ 中，已知 $\frac{\cos 2 C}{\sin 2 C + \cos 2 C + 1} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ ，则 $3 \sin A + 2 \sin B$ 的最大值为.

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17、在直角三角形ABC中，已知CH为斜边AB上的高， $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 2$ ，现将 $△ B C H$ 沿着CH折起，使得点B到达点 $B^{'}$ ，且平面 $B^{'} C H ⊥$ 平面ACH，则三棱锥 $B^{'} - A C H$ 的外接球的表面积为.

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18、设向量 $\vec{m} = (1, 3)$ ， $\vec{n} = (4, - 2)$ ， $\vec{p} = λ \vec{m} + \vec{n}$ ，若 $\vec{m} ⊥ \vec{p}$ ，则实数λ的值为.

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19、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，E，F，G，H分别为AB， $C C_{1}$ ， $A_{1} D_{1}$ ， $D D_{1}$ 的中点，则（）

A、 $B_{1} D ⊥$ 平面 $E F G$ B、 $A H //$ 平面 $E F G$ C、点 $B_{1}$ ， $D$ 到平面 $E F G$ 的距离相等 D、平面 $E F G$ 截该正方体所得截面的面积为 $3 \sqrt{3}$

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20、已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $z_{3}$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $| z_{1} z_{2} | = | z_{1} | | z_{2} |$ B、若 $z_{1} - z_{2} > 0$ ，则 $z_{1} > z_{2}$ C、若 $z_{1} z_{2} = 0$ ，则 $| z_{1} - z_{2} | = | z_{1} + z_{2} |$ D、若 $z_{1} z_{2} = z_{1} z_{3}$ 且 $z_{1} \neq 0$ ，则 $z_{2} = z_{3}$

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