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相关试卷

1、已知甲盒中装有3个白球，2个黑球；乙盒中装有2个白球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同．

(1)、若从两个盒子中一次性各摸出2个球，用X表示摸出的4个球中白球的个数，求X的分布列和数学期望．

(2)、若先从甲盒中一次性摸出2个球放入乙盒，再从乙盒中摸出一个球．
（ⅰ）计算在乙盒中摸出的是黑球的概率；
（ⅱ）如果在乙盒中摸出的是黑球，计算甲盒中恰剩一个黑球的概率．

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2、已知函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} - a \cdot 2^{x}$ ， $f (x)$ 为偶函数．

(1)、求实数a的值；

(2)、写出 $f (x)$ 的单调区间（不需要说明理由）；

(3)、若对于任意 $t \in [- 3, 1]$ ，不等式 $f (t^{2} - 2 t + 2) > f (- 2 t^{2} + k)$ 恒成立，求实数k的取值范围．

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3、某企业拥有甲、乙两种生产工艺，用这两种生产工艺共生产40件同一类型产品，所得合格品情况如表1，该企业对甲生产工艺研发投入x（亿元）与总收益y（亿元）的数据统计如表2.
表1：
工艺
合格情况
合计
合格品
不合格品
甲
18

20
乙

8

合计

40
表2：
研发投入x（亿元）
1
2
3
4
收益y（亿元）
6.5
7
8
8.5

(1)、完成列联表，并根据 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为产品合格率与生产工艺有关？

(2)、用线性回归方程预估当对甲生产工艺研发投入10亿元时，总收益将达到多少亿元？
附：① $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .
②临界值表：
α
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
③参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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4、已知 ${(\sqrt[3]{x^{2}} + 3 x^{2})}^{n}$ 的展开式中，二项式系数和为64．

(1)、求展开式中各项系数的和；

(2)、求展开式中含 $x^{8}$ 的项．

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5、若存在实数x使得 $\log_{2} (1 - x) + 3 \log_{8} (1 + x) \geq 4^{m} + 2^{m + 1} - 8$ 成立，则实数m的最大值为．

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6、若 $\tan (α + \frac{π}{4}) = - \frac{3}{4}$ ，则 $\sin 2 α =$ ．

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7、已知随机变量 $X ~ N (0, σ^{2})$ ，若 $P (| X | \leq 1) = 0.6$ ，则 $P (X > 1) =$ ．

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8、A是轮子（半径为0.5m）外边沿上的一点，若轮子从图中位置（A恰为轮子和地面的切点）向左匀速无滑动滚动，当滚动的水平距离为x m（ $x \geq 0$ ）时，点A距离地面的高度为 $h (x)$ ，则（）

A、当 $x = 9$ 时，点A恰好位于轮子的最高点 B、 $h (x + 3 π) = h (x)$ C、当 $x \in (5, 6)$ 时，点A距离地面的高度在下降 D、若 $h (x_{1}) = h (x_{2}) = 0.5$ ， $x_{2} > x_{1} \geq 0$ ，则 $x_{2} - x_{1}$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{1}{6} x + 3 - a, x \geq 0 \\ a^{x} - 1, x < 0 \end{array}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）在R上为单调函数， $g (x) = \cos x$ ，则（）

A、实数a的取值范围为 $(1, 3]$ B、当 $x \in [\frac{π}{3}, \frac{4π}{3}]$ 时， $g (x)$ 的取值范围为 $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ C、函数 $f (g (x))$ 是周期函数 D、函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象之间关于直线 $x = 1$ 对称的点有无数多对

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10、若 $\frac{A_{10}^{n}}{A_{n}^{n}} = C_{10}^{4}$ ，则n的值可能为（）

A、3 B、4 C、6 D、8

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11、以max M表示数集M中最大的数．若 $x, y > 0$ ，且 $z \geq 1$ ，则 $\max \{\frac{z}{\sqrt{x}} + y, \frac{\sqrt{x}}{y} + z\}$ 的最小值为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{2} + 1$ C、3 D、2

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12、将分别标有数字1，2，3，4，5的五个小球放入A，B，C三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球．若标有数字1和2的小球不放入同一个盒子，则不同方法有（）

A、72种 B、42种 C、114种 D、36种

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13、将函数 $f (x) = \sin x - \cos x$ 图象上所有的点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度得到 $g (x)$ 的图象，则 $g (x) =$ （）

A、 $\sqrt{2} \sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ B、 $\sqrt{2} \sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{8})$ C、 $\sqrt{2} \sin \frac{x}{2}$ D、 $\sqrt{2} \cos 2 x$

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14、已知随机变量X的分布列如下表所示，设 $Y = 3 X - 2$ ，则 $D (Y) =$ （）
X
$- 1$
0
1
P
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{3}$
n

A、5 B、 $\frac{5}{9}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- 3$

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15、若 $9^{a} = 5$ ， $\log_{3} 4 = b$ ，则 $3^{2 a + b} =$ （）

A、10 B、20 C、50 D、100

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16、“ $f (x) = x + \frac{1}{x}$ 在 $(a, + \infty)$ 上单调递增”是“ $a > - 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、已知随机变量 $ξ ～ B (4, p)$ ，若 $E (ξ) = 2$ ，则 $P (ξ = 3) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{16}$

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18、已知集合 $M = \{x | 0 < x < 4\}$ ， $N = \{- 1, 1, 2, 3\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${0, 1, 2, 3, 4}$ B、 ${0, 1, 2, 3}$ C、 ${1, 2, 3}$ D、 ${2, 3}$

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19、如图，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ A D$ ， $A D ∥ B C$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} B C = 2$ ，沿对角线 $B D$ 将 $△ A B D$ 折至 $△ A^{'} B D$ 的位置，记二面角 $A^{'} - B D - C$ 的平面角为 $θ$ ．

(1)、当 $θ = 90 °$ 时，求证：平面 $A^{'} C D ⊥$ 平面 $A^{'} B D$ ；

(2)、若 $E$ 为 $B C$ 的中点，当 $θ = 120 °$ 时，求二面角 $A^{'} - D E - B$ 的正切值．

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20、如图，在三棱锥V-ABC中，△VAB为等边三角形， $A C ⊥ B C$ 且 $A C = B C = 2$ ， O，M，D分别为AB，AV，BC的中点，BM，VO交于点F.

(1)、证明：AB⊥平面VOC；

(2)、在线段BM上是否存在一点E，使 $D E ∥$ 平面VOC？若存在，请指出点E的位置；若不存在，请说明理由.

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工艺	合格情况		合计
工艺	合格品	不合格品	合计
甲	18		20
乙		8
合计			40

α	0.100	0.050	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

研发投入x（亿元）	1	2	3	4
收益y（亿元）	6.5	7	8	8.5

X	$- 1$	0	1
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	n