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相关试卷

1、在班级数学兴趣小组活动中，老师准备了2道导数题和6道建模题，某小组的8位同学从中不放回的每人随机抽取一题作答，记 $A :$ 表示第 $i$ 位同学抽到导数题， $i = 1, 2, ..., 8$ ，则 $P (A_{1} |A_{3}) =$

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2、若 $3^{a} = 4, 4^{b} = 9,$ 则ab= ．

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3、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x + 2) - 1$ 为奇函数， $f (x + 1)$ 为偶函数，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(2, 1)$ 对称 B、 $f (x)$ 是周期为 4 的周期函数 C、 $f (1) + f (3) = 0$ D、 $\sum_{k = 1}^{2024} f (k) = 2024$

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4、已知在 ${(2 \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则下列结论正确的是（）

A、n=6 B、展开式中含 $\frac{1}{x}$ 的项的系数是 $- 60$ C、展开式的各二项式系数和为64 D、展开式的各项系数和为729

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5、设函数 $f (x) = \frac{1}{e^{|x|}} + \frac{1}{x^{2} + 1} ，$ 则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上为增函数 B、 $f (x)$ 为偶函数 C、 $f (x)$ 的值域为 $(0, 2]$ D、不等式 $f (x + 1) > f (2)$ 的解集为 $(- 3, 1)$

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6、已知 $[a]$ 表示不超过实数 $a$ 的最大整数，例如： $[- 3.5] = - 4$ ， $[2.1] = 2$ ，若函数 $f (x) = \frac{ln x - 2}{ln x + 1} ，$ 其中 $x \in (1, + \infty)$ ，则 $y = [f (x)]$ 的值域为（）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $\{- 2, 1\}$ C、 $\{- 1, 0, 1\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0\}$

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7、已知 $\sqrt{2} \approx 1.41421 ，$ ，小明在设置银行卡的数字密码时，打算将 $\sqrt{2}$ 的前6位数字1，4，1，4，2，1进行某种排列得到密码．如果排列时要求三个1不相邻，两个4也不相邻，那么小明可以设置的不同的密码个数为（）

A、6 B、7 C、10 D、12

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8、若正实数 $a, b$ ，满足 $(a + 2) (b + 1) = 9$ ，则 $a + b$ 的最小值为（）

A、9 B、6 C、3 D、2

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9、如图，等腰梯形ABCD 的上底CD=1，下底AB=3，高为1．记等腰梯形ABCD 位于直线x=t(0≤t≤3)左侧的图形的面积为 f(t)，则f(t)随t变化时的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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10、若幂函数 $f (x)$ 的图象过点 $(4, 2)$ ，则 $y = \frac{f (2 - | x |)}{f (x)}$ 的定义域是（）

A、 $(- 2, 0)$ B、 $(0, 2]$ C、 $[0, 2]$ D、 $(- 2, 2)$

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11、若随机变量 $X ~ N (60, σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 40) = 0.2$ ，则 $P (X \leq 80) =$ （）

A、0.2 B、0.4 C、0.6 D、0.8

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12、已知全集 $U=R$ ，集合 $A = {- 1, 0, 1, 2, 3}, B = {x ∣ 1 < x < 4},$ 则图中阴影部分表示的集合为（）

A、 ${- 1, 0}$ B、 ${0, 1}$ C、 ${- 1, 0, 1}$ D、 ${- 1, 0, 1, 2}$

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13、若函数 $f (x) = a \sin x + b \cos x$ ，则称向量 $\vec{p} = (a, b)$ 为函数 $f (x)$ 的特征向量，函数 $f (x)$ 为向量 $\vec{p}$ 的特征函数．

(1)、若函数 $f_{1} (x) = \sin (π - x) + \sin (\frac{3}{2} π - x)$ ，求 $f_{1} (x)$ 的特征向量 ${\vec{p}}_{1}$ ；

(2)、若向量 $\vec{p_{2}} = (\sqrt{3}, 1)$ 的特征函数为 $f_{2} (x)$ ，求当 $f_{2} (x) = \frac{6}{5}$ ，且 $x \in (- \frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ 时 $\sin x$ 的值；

(3)、已知点 $A (- 3, 3), B (3, 11)$ ，设向量 $\vec{p_{3}} = (- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 的特征函数为 $f_{3} (x)$ ，函数 $h (x) = 4 f_{3}^{2} (x) - 2$ ．在函数 $h (x)$ 的图象上是否存在点Q，使得 $\vec{A Q} ⊥ \vec{B Q}$ ？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

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14、在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边，已知 $c = 2$ ， $C = \frac{π}{3}$ .

(1)、若 $△ A B C$ 的面积等于 $\sqrt{3}$ ，求边 $a, b$ ；

(2)、若 $sin C + \sin (B - A) = 2 \sin 2 A$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、求 $△ A B C$ 周长的最大值.

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15、如图所示，正六棱锥的底面边长为4，H是 $B C$ 的中点，O为底面中心， $∠ S H O = 60 °$ ．

(1)、求出正六棱锥的高，斜高，侧棱长；

(2)、求六棱锥的表面积和体积．

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16、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (3, k)$ .

(1)、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，求实数k的值；

(2)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，求实数k的值.

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17、若方程 $\cos^{2} x + \sin x - a = 0$ 在 $x \in [\frac{π}{6}, \frac{2 π}{3}]$ 有解，则 $a$ 的取值范围是.

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18、已知向量 $\vec{a} = (1, 0)$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3}, 1)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量坐标为．

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19、若用与球心的距离为 $\sqrt{5}$ 的平面截球体所得的圆面半径为2，则球的半径为.

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20、设函数 $f (x) = cos (ω x + φ) (ω, φ$ 为常数， $ω > 0, 0 < φ < π)$ ，若函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{7 π}{24}, \frac{π}{24}]$ 上为单调函数，且 $- f (- \frac{7 π}{24}) = f (\frac{π}{24}) = f (\frac{5 π}{24})$ ，则下列说法中正确的是（）

A、点 $(- \frac{π}{8}, 0)$ 是函数 $f (x)$ 图象的一个对称中心 B、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ C、直线 $x = - \frac{3 π}{8}$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴 D、函数 $f (x)$ 的图象可由函数 $y = cos (ω x)$ 向左平移 $\frac{3 π}{8}$ 个单位长度得到

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