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相关试卷

1、设集合 $A = \{x |- 1 < x < 2\}$ ， $B = \{x |\log_{2} x < 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(- \infty, 2)$

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2、设集合 $A = \{1, 2, 3, \dots, n\} (n \in N^{*}), B \subseteq A$ ，且 $B \neq \emptyset$ ，记集合 $B$ 中的最小元素和最大元素分别为随机变量 $X, Y$ .

(1)、若 $X \geq 3$ 的概率为 $\frac{7}{31}$ ，求 $n$ ；

(2)、若 $n = 20$ ，求 $X = 8$ 且 $Y = 18$ 的概率；

(3)、记随机变量 $Z = \frac{X + Y}{2}$ ，证明： $E (Z) = \frac{n + 1}{2}$ .

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3、已知函数 $f (x) = ln x$ .

(1)、若 $g (x) = f (x) - \frac{a (x - 1)}{x + 1}$ ，讨论函数 $g (x)$ 的单调性；

(2)、若 $0 < x < 1$ ，求证： $\frac{f (x)}{x - 1} > \frac{x + 1}{e^{x}}$ .

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4、某企业生产一种热销产品，产品日产量为 $x (x \geq 1)$ 吨，日销售额为 $y$ 万元（每日生产的产品当日可销售完毕），且产品价格随着产量变化而有所变化.经过一段时间的产销，随机收集了某5天的日产量 $x_{i} (i = 1, 2, .., 5)$ （单位：吨）和日销售额 $y_{i} (i = 1, 2, \dots, 5)$ （单位：万元）的统计数据，并对这5组数据做了初步处理，得到统计数据如下表：
$\sum_{i = 1}^{5} x_{i}$
$\sum_{i = 1}^{5} y_{i}$
$\sum_{i = 1}^{5} u_{i}$
$\sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{5} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$
$\sum_{i = 1}^{5} (u_{i} - \bar{u}) (y_{i} - \bar{y})$
15
73
4.8
10
161.2
1.6
39
15.9
其中， $u_{i} = \ln x_{i} (i = 1, 2, \dots, 5), \bar{x}, \bar{y}, \bar{u}$ 分别为数据 $x_{i}, y_{i}, u_{i} (i = 1, 2, \dots, 5)$ 的平均数.

(1)、请从样本相关系数的角度，判断 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 与 $\hat{y} = \hat{d} \ln x + \hat{c}$ 哪一个模型更适合刻画日销售额 $y$ 关于日产量 $x$ 的关系？

(2)、根据（1）的结果解决下列问题：
（i）建立 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程（斜率的结果四舍五入保留整数）；
（ii）如果日产量 $x$ （单位：吨）与日生产总成本 $c (x)$ （单位：万元）满足关系 $c (x) = \frac{1}{2} x + 3$ ，根据（i）中建立的经验回归方程估计日产量 $x$ 为何值时，日利润 $r (x)$ 最大？
附：①相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ；
②经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘法公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .
③参考数据： $\sqrt{1612} \approx 40, \sqrt{1.6 \times 161.2} \approx 16, \sqrt{39 \times 15.9} \approx 25$ .

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5、某社区以网上调查问卷形式对辖区内部分居民做了体育锻炼的宣传和调查.调查数据如下：共100份有效问卷，50名男性中有5名不经常体育锻炼，50名女性中有10名不经常体育锻炼.

(1)、根据所给数据，完成下面的 $2 \times 2$ 列联表：根据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，分析性别因素是否会影响经常体育锻炼？
性别
经常体育锻炼与否
合计
经常体育锻炼
不经常体育锻炼
男
女
合计

(2)、从不经常体育锻炼的15份调查问卷中得到不经常锻炼的原因：有3份身体原因；有2份不想锻炼；有4份没有时间；有6份没有运动伙伴.求从这15份问卷中随机选出2份，在已知其中一份是“没有时间”的条件下，另一份是“没有运动伙伴”的概率.
附：① $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
②临界值表
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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6、已知函数 $f (x) = \frac{sin x}{a x}$ 的图象在点 $(π, 0)$ 处的切线方程是 $x + π y - π = 0$ .

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $x > 0$ ，求证： $f (x) < 1$ .

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7、若直线 $y = k x + m$ 是曲线 $y = e^{x} - 2$ 的切线，也是曲线 $y = e^{x - 1}$ 的切线，则 $m =$ .

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8、若甲筐中有5个苹果，3个梨子，2个橙子，乙筐中有 $x$ 个苹果､1个梨子､2个橙子，现从甲筐中随机取出一个水果放入乙筐，再从乙筐中随机取出一个水果，记“从乙筐中取出的水果是苹果”为事件 $A$ ，若 $P (A) \geq \frac{1}{2}$ ，则整数 $x$ 的最小值为.

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9、 ${(a x^{2} + \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中， $x^{4}$ 的系数是80，则 $a =$ .

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10、设 $A, B$ 是一个随机试验中的两个事件，且 $P (A) = \frac{7}{12}, P (B) = \frac{1}{2}, P (\bar{A} + B) = \frac{2}{3}$ ，则（）

A、 $P (A B) = \frac{1}{4}$ B、 $P (\bar{A} \bar{B}) = \frac{5}{12}$ C、 $P (\bar{A} | B) = \frac{1}{2}$ D、 $P (\bar{B} | A) = \frac{4}{7}$

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11、已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ 在 $x = 1$ 处取到极大值1，则以下结论正确的是（）

A、 $3 a + 2 b + c = 0$ B、 $d = 2 a + b + 1$ C、 $b < - 3 a$ D、 $b > - 3 a$

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12、变量 $x$ 与 $y$ 的成对数据的散点图如下图所示，由最小二乘法计算得到经验回归直线 $L_{1}$ 的方程为 $\hat{y} = {\hat{b}}_{1} x + {\hat{a}}_{1}$ ，相关系数为 $r_{1}$ ，决定系数为 $R_{1}^{2}$ ；经过残差分析确定第二个点B为离群点（对应残差过大），把点B对应的数据去掉后，用剩下的7组数据计算得到经验回归直线 $l_{2}$ 的方程为 $\hat{y} = {\hat{b}}_{2} x + {\hat{a}}_{2}$ ，相关系数为 $r_{2}$ ，决定系数为 $R_{2}^{2}$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $r_{1} < r_{2}$ B、 $R_{1}^{2} > R_{2}^{2}$ C、 ${\hat{b}}_{1} < {\hat{b}}_{2}$ D、 ${\hat{a}}_{1} < {\hat{a}}_{2}$

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13、已知实数 $x, y, z$ 满足 $e^{y} ln x = y e^{x}$ 且 $e^{z} ln \frac{1}{x} = z e^{x}$ ，若 $0 < y < 1$ ，则（）

A、 $x > y > z$ B、 $x > z > y$ C、 $y > z > x$ D、 $y > x > z$

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14、如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，比欧洲发现早500年左右.现从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于2024的概率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{5}{7}$ C、 $\frac{13}{20}$ D、 $\frac{13}{21}$

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15、袋中有5个白球，4个黑球，从中依次不放回取球，当取出三个相同颜色的球时停止取球，记X为取出球的总数，则 $X = 4$ 的概率为（）

A、 $\frac{5}{14}$ B、 $\frac{5}{7}$ C、 $\frac{5}{42}$ D、 $\frac{5}{21}$

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16、某中学推出了篮球､足球､排球､羽毛球､乒乓球共5门球类体育选修课供同学们选择，其中羽毛球火爆，只剩下一个名额，其余4门球类课程名额充足.现有某宿舍的四位同学报名选课，每人只选择其中的1门课程，四位同学选完后，恰好选择了3门不同球类课程，则不同的选课情况总共有（）

A、316种 B、360种 C、216种 D、288种

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17、在区间 $(0, 1)$ 上，若 $f^{'} (x) > 1$ ，则下列四个图中，能表示函数 $y = f (x)$ 的图像的是（）

A、 B、 C、 D、

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18、两个相关变量 $x, y$ 满足如下关系：
$x$
2
3
4
5
6
$y$
25
●
46
58
65
根据表格已得经验回归方程为 $\hat{y} = 10.2 x + 5.2$ .若表格中有一数据模糊不清，则推算该数据是（）

A、35.5 B、36 C、36.5 D、37

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19、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ，且 $\frac{P (X < 3)}{P (X < 1)} = 4$ ，则 $P (2 < X < 3) =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{1}{3}$

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20、已知函数 $f (x) = sin x cos x$ ，则 $f (x)$ 的导函数为（）

A、 $f^{'} (x) = {sin}^{2} x - {cos}^{2} x$ B、 $f^{'} (x) = {cos}^{2} x - {sin}^{2} x$ C、 $f^{'} (x) = 1$ D、 $f^{'} (x) = - 1$

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$\sum_{i = 1}^{5} x_{i}$	$\sum_{i = 1}^{5} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{5} u_{i}$	$\sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{5} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$	$\sum_{i = 1}^{5} (u_{i} - \bar{u}) (y_{i} - \bar{y})$
15	73	4.8	10	161.2	1.6	39	15.9

性别	经常体育锻炼与否		合计
性别	经常体育锻炼	不经常体育锻炼	合计
男
女
合计

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

$x$	2	3	4	5	6
$y$	25	●	46	58	65