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相关试卷

1、对于定义域为 $D$ 的函数 $F (x)$ ，若 $\exists x_{0} \in D$ ，使得 $F (x_{0}) + F (x_{0} + k) = 0$ ，其中 $k \neq 0$ ，则称 $F (x)$ 为“可移 $k$ 相反数函数”， $x_{0}$ 是函数 $F (x)$ 的“可移 $k$ 相反数点”.已知 $f (x) = ln x$ ， $g (x) = x + a$ .

(1)、若 $x_{0}$ 是函数 $f (x)$ 的“可移2相反数点”，求 $x_{0}$ ；

(2)、若 $h (x) = \frac{f (x)}{g (x)}$ ，且 $- 1$ 是函数 $g (x)$ 的“可移4相反数点”，求函数 $h (x)$ 的单调区间；

(3)、设 $φ (x) = \{\begin{array}{l} f (x), x > 0, \\ - g (x), x \leq 0, \end{array}$ 若函数 $φ (x)$ 在 $R$ 上恰有2个“可移1相反数点”，求实数 $a$ 的取值范围.

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2、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 x$ ， $M, N$ 为 $C$ 上的两个动点，直线 $M N$ 的斜率为 $k$ ，线段 $M N$ 的中点为 $Q (m, m)$ .

(1)、证明： $k m = 1$ ；

(2)、已知点 $A (2, 1)$ ，求 $△ A M N$ 面积的最大值.

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3、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $A B / / C D$ ， $∠ A D C = 90 °$ ， $A B = A D = P D = \frac{1}{2} C D = 1$ ， $C D ⊥ P A$ ， M是 $P A$ 的中点

(1)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $M C D$ ；

(2)、若 $P A = \sqrt{2}$ ，求平面 $P B C$ 与平面 $M C D$ 夹角的余弦值.

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4、夏季濒临，在某校举办的篮球挑战杯上，篮球队员们向台下的观众展现出了一场酣畅淋漓的比赛．假定在本次挑战杯上同学甲每次投篮命中的概率为 $\frac{2}{3}$ ．

(1)、若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率；

(2)、若该同学在每一节比赛中连续投中2次，即停止投篮，否则他将继续投篮，投篮4次后不管有没有连续投中，都将停止投篮，求他在每一节比赛中投篮次数X的概率分布列及数学期望．

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5、已知 $△ A B C$ 的边长分别为5，7，8，边长为8的边上的中线长为d.

(1)、求 $△ A B C$ 的最大内角的正弦值；

(2)、求d.

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6、过点 $P (1, 2)$ 的直线l与曲线 $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ 有且仅有两个不同的交点，则l斜率的取值范围为．

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7、在 ${(1 + x)}^{2} + {(1 + x)}^{3} + \dots + {(1 + x)}^{9}$ 的展开式中， $x^{3}$ 项的系数为．

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8、已知 $\tan α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $\tan 2 α =$ ．

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9、如图，在棱长均为1的平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $B B_{1} ⊥$ 平面 $A B C D, ∠ A B C = 60^{\circ}$ ， $P, Q$ 分别是线段 $A C$ 和线段 $A_{1} B$ 上的动点，且满足 $\vec{B Q} = λ \vec{B A_{1}}, \vec{C P} = (1 - λ) \vec{C A}$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时， $P Q$ $/ /$ $A_{1} D$ B、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，若 $\vec{P Q} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A A_{1}} (x, y, z \in R)$ ，则 $x + y + z = 0$ C、当 $λ = \frac{1}{3}$ 时，直线 $P Q$ 与直线 $C C_{1}$ 所成角的大小为 $\frac{π}{6}$ D、当 $λ \in (0, 1)$ 时，三棱锥 $Q - B C P$ 的体积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{48}$

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10、已知两点 $A (- 2, 0), B (2, 0)$ ，若直线上存在点 $P$ ，使得 $|P A| - |P B| = 2$ ，则称该直线为“点定差线”，下列直线中，是“点定差直线”的有（）

A、 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + 1$ B、 $y = x + 1$ C、 $y = 2 x + 4$ D、 $y = \sqrt{2} x + 1$

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11、样本数据28、30、32、36、36、42的（）

A、极差为14 B、平均数为34 C、上四分位数为36 D、方差为20

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12、已知函数 $f (x) = 5 sin (2 x - \frac{π}{6}), x \in [0, \frac{37 π}{3}]$ ，若函数 $F (x) = f (x) - 4$ 的所有零点依次记为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < \dots < x_{n}$ ，则 $x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} + \dots + 2 x_{n - 1} + x_{n} =$ （）

A、 $292 π$ B、 $\frac{625 π}{2}$ C、 $\frac{1001 π}{3}$ D、 $\frac{711 π}{2}$

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13、棱长均为3的正三棱柱的各个顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为（）

A、 $18 π$ B、 $21 π$ C、 $42 π$ D、 $36 π$

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14、已知公差为 $d$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{20} < 0$ ， $S_{21} > 0$ ，则 $\frac{a_{4}}{d}$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{1}{6}, - \frac{1}{7})$ B、 $(- \frac{2}{13}, - \frac{1}{7})$ C、 $(- 7, - 6)$ D、 $(- 7, - \frac{13}{2})$

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15、已知实数a，b满足 $a b = 1 - a$ ，则下列数中不可能是 $a + b$ 的值的是（）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、2 D、3

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16、若曲线 $C : (k - 4) x^{2} + \frac{y^{2}}{6 - k} = 1$ 表示椭圆，则实数k的取值范围是（）

A、 $(4, 6)$ B、 $(4, 5)$ C、 $(5, 6)$ D、 $(4, 5) \cup (5, 6)$

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17、函数 $f (x) = sin x cos x$ 的图象在点 $(\frac{π}{4}, f (\frac{π}{4}))$ 处的切线方程为（）

A、 $x + y - \frac{1}{2} - \frac{π}{4} = 0$ B、 $x - y + \frac{1}{2} - \frac{π}{4} = 0$ C、 $y - \frac{1}{2} = 0$ D、 $y + \frac{1}{2} = 0$

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18、若复数 $z$ 满足 $z (1 - 2 i) = 3 + i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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19、已知集合 $A = {x ∣ - 5 < x < 2}, B = {x ∣ |x| < 3}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- 5, 3)$ B、 $(- \infty, 3)$ C、 $(- 3, 2)$ D、 $(- \infty, 2)$

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20、函数 $h (x)$ 的定义域为R ，若存在非零实数T，对 $\forall x \in R$ ，都有 $h (x + T) = h (x) + h (T)$ ，则称函数 $h (x)$ 关于T可线性分解，已知 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ)$ （ $0 < ω < 3$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）．

(1)、若 $f (x)$ 关于T可线性分解，求 $f (0)$ ， $f (T)$ ；

(2)、若 $g (x) = f (x + \frac{1}{4})$ ， $g (x)$ 关于3可线性分解．
（ⅰ）求函数 $y = f (x) \times f [f (x)] + 4$ 的零点；
（ⅱ）对 $\forall n \in N^{*}$ ， $f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (n) \leq m$ ，求m的取值范围．

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