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相关试卷

1、复数 $1 - 2 i$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2、已知 $f (x)$ 是定义在 $[a, b]$ 上的函数， $\forall n \in N^{*}$ ，将区间 $[a, b]$ 划分为任意 $n$ 个互不相交的小区间，将分点按从小到大记作 $x_{i} (i = 0, 1, \dots, n)$ ，其中 $x_{0} = a, x_{n} = b$ .若存在一个常数 $M > 0$ ，使得 $\sum_{i = 1}^{n} |f (x_{i}) - f (x_{i - 1})| \leq M$ 恒成立，称函数 $f (x)$ 为 $[a, b]$ 上的有界变差函数.

(1)、证明：若 $f (x)$ 是定义在 $[- 1, 1]$ 的单调递增函数，则 $f (x)$ 为 $[- 1, 1]$ 上的有界变差函数；

(2)、判断 $f (x) = x^{2}$ 在 $[- 1, 1]$ 上是否为有界变差函数？请说明理由；

(3)、判断 $f (x) = \{\begin{array}{l} x cos \frac{π}{x}, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \end{array}$ 在 $[0, 1]$ 上是否为有界变差函数？请说明理由.

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3、某中学即将迎来百年校庆，校方准备组织校史知识竞猜比赛.比赛规则如下：比赛分成三轮，每轮比赛没有通过的学生直接淘汰，通过的学生可以领取奖品结束比赛，也可以放弃本轮奖品继续下一轮比赛，三轮都通过的学生可获得奖品一纪念版手办.已知学生每轮通过的概率都为 $\frac{1}{2}$ ，通过第一轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为 $\frac{1}{3}$ ，通过第二轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求学生小杰获得奖品的概率；

(2)、已知学生小杰获得奖品，求他至少通过两轮比赛的概率；

(3)、求学生小杰通过的比赛轮数 $X$ 的分布列与数学期望.

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4、已知 $f (x) = x - \frac{a - 1}{x} - a ln x$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 的极大值为 $- 3$ ，求实数 $a$ 的值.

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5、随着“特种兵旅行”在网络的爆火，某市文旅局准备在本市的景区推出旅游一卡通（也称旅游年卡）.为了更科学的制定一卡通的有关条例，市文旅局随机调查了2023年到本市景区旅游的1000名游客的年旅游消费支出，其旅游消费支出（单位：百元）近似服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，其中 $μ = 11.8, σ = 3.2$ .

(1)、若2023年到本市景区旅游游客为500万人，试估计2023年有多少游客（单位：万）在本市的年旅游消费支出不低于1500元；

(2)、现将游客来源分为“当地游客”和“外地游客”.若从这1000名游客中随机抽取1人，抽到外地游客的概率为 $\frac{2}{5}$ .规定游客的消费支出不低于1400元为三星客户，否则为一星客户.请根据已知条件完成下面的列联表，并依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否认为“客户星级”与“游客来源”有关联？
游客来源
客户星级
合计
三星客户
一星客户
当地游客

外地游客
100

合计
300

1000
参考数据：若随机变量 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827, P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545, P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ；
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.10
0.05
0.01
0.001
$χ_{α}$
2.706
3.841
6.635
10.828

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6、已知在 ${(1 - 2 x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{n} x^{n}$ 的展开式中，所有项的二项式系数之和为512.

(1)、求 $n$ 的值，并求展开式中所有项的系数和；

(2)、求展开式中系数绝对值最大的项.

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7、过点 $(0, t)$ 有且只有一条直线与曲线 $y = \frac{x}{e^{x}}$ 相切，则实数 $t$ 的取值范围是.

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8、已知函数 $f (x) = |x^{2} - a x|$ 在 $[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是.

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9、某中学举办女子排球赛，高二年级 $A$ 班与 $B$ 班进行比赛，每局比赛 $A$ 班获胜概率为 $\frac{2}{5}$ ，每场比赛结果相互独立.若比赛采用三局两胜制（先赢两局者获胜），则 $A$ 班获胜的概率是.

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10、已知不等式 $ln x \leq x - 1$ 对任意 $x > 0$ 恒成立，则下列不等式中一定成立的是（）

A、 $ln x \geq 1 - \frac{1}{x}$ B、 $\frac{C_{6}^{0}}{6^{6}} + \frac{C_{6}^{1}}{6^{5}} + \dots + \frac{C_{6}^{6}}{6^{0}} < e$ C、 $1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{2024} > ln 2025$ D、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2025} > ln 2025$

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11、定义在 $R$ 上的非常数函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f (x + 2)$ 为偶函数且 $f (x) + f (x + 2) = 3$ .则下列说法中一定正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称 B、6是函数 $f (x)$ 的一个周期 C、 $f (1) = \frac{3}{2}$ D、 $f^{'} (x)$ 的图象关于直线 $x = 3$ 对称

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12、下列说法中正确的是（）

A、若随机变量 $X \sim B (10, \frac{1}{3})$ ，则 $D (3 X - 1) = 20$ B、若随机变量 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，当 $μ$ 不变时， $σ$ 越小，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖 C、回归分析中，样本决定系数 $R^{2}$ 越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好 D、在独立性检验中，当 $χ^{2} \geq χ_{α} (χ_{α}$ 为 $α$ 的临界值 $)$ 时，推断零假设 $H_{0}$ 不成立

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13、已知 $5^{5} > e^{8}, a = 3^{\frac{1}{3}}, b = 5^{\frac{1}{4}}, c = e^{\frac{1}{e}}$ ，则 $a ､ b ､ c$ 的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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14、从数字 $0, 1, 2, 3, 4$ 中选四个组成没有重复数字且比2024大的四位数有（）

A、52个 B、64个 C、66个 D、70个

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15、设 $P$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上一动点， $F_{1} ､ F_{2}$ 分别为椭圆的左､右焦点，已知点 $D (1, 1)$ ，则 $|P F_{1}| + |P D|$ 的最小值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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16、空间向量 $\vec{a} = (1, 0, 1)$ 在 $\vec{b} = (0, 1, 1)$ 上的投影向量为（）

A、 $(\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ C、 $(0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ D、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

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17、等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}, T_{9} = 512$ ，则 $a_{3} + a_{7}$ 的最小值是（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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18、已知函数 $y = f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 图象如图所示，则函数 $y = f (x)$ 的极大值点有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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19、集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 3 x - 4 \leq 0\}$ ，集合 $B = \{y ∣ y = \sqrt{4 - x^{2}}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 1, 2]$ B、 $[- 4, 1]$ C、 $[0, 1]$ D、 $[0, 2]$

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20、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $sin 2 B = sin A (cos C + \frac{c}{a} cos A)$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、点 $D$ 是 $A C$ 上的一点， $∠ A B D = ∠ C B D$ ，且 $B D = 1$ ，求 $△ A B C$ 周长的最小值.

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游客来源	客户星级		合计
游客来源	三星客户	一星客户	合计
当地游客
外地游客	100
合计	300		1000

$α$	0.10	0.05	0.01	0.001
$χ_{α}$	2.706	3.841	6.635	10.828