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相关试卷

1、如图，在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C, M$ 为AC的中点， $M B_{1} ⊥ A B$ .

(1)、证明： $M C_{1} ⊥ A B$ .

(2)、若 $A B = B C = 2, B B_{1} = 4, M B_{1} = \sqrt{14}$ ，求直线 $B_{1} C$ 与平面 $M B_{1} C_{1}$ 所成角的正弦值.

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2、我国上是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准 $x$ （吨），用水量不超过 $x$ 的部分按平价收费，超过 $x$ 的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照 $[0, 0.5), [0.5, 1), ..., [4, 4.5]$ 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

（1）求直方图中 $a$ 的值；
（2）已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（3）若该市政府希望使 $85 %$ 的居民每月的用水量不超过标准 $x$ （吨），估计 $x$ 的值，并说明理由．

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3、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别为 $B C$ 和 $C C_{1}$ 的中点， $M$ 是侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 内一点，若 $D_{1} M //$ 平面 $D E F$ ，则线段 $D_{1} M$ 长度的取值范围是．

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4、四面体ABCD中， $B D = 2 \sqrt{2}$ ， AC=2，M、N分别为BC、AD的中点，MN=1，则异面直线AC与BD所成的角是.

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5、常言道：国以民为本，民以食为天．食品安全问题是人类生存的第一需要．学校为了解学生对食堂满意情况组织了一次座谈会，并利用分层抽样的方法从高中3个年级中随机抽取了150人参加，其中高一、高二年级各抽取了40人，50人，若高三年级有学生1200人，则该高中共有学生人．

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6、已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为 $r_{上} = 1$ ， $r_{下} = 2$ ，母线 $A B$ 长为2，点 $E$ 为 $A B$ 的中点，则（）

A、圆台的体积为 $\frac{7 \sqrt{3}}{3} π$ B、圆台的侧面积为 $12 π$ C、圆台母线 $A B$ 与底面所成角为 $60^{\circ}$ D、在圆台的侧面上，从点 $C$ 到点 $E$ 的最短路径长为4

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7、如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若 $A B = 12$ ，则该模型中一个小球的体积为（）

A、 $3 π$ B、 $\frac{3 π}{2}$ C、 $\sqrt{6} π$ D、 $\frac{9 \sqrt{6} π}{16}$

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8、在边长为2的正方形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $A B$ 的中点，点 $F$ 是 $B C$ 的中点，将 $△ A E D$ ， $△ B E F$ ， $△ D C F$ 分别沿 $D E$ ， $E F$ ， $D F$ 折起，使 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点重合于点 $A^{'}$ ，则 $A^{'}$ 到平面 $E F D$ 的距离为（）

A、1 B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、2

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9、已知某人收集一个样本容量为50的一组数据，并求得其平均数为70，方差为75，现发现在收集这些数据时，其中两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，在对错误数据进行更正后，重新求得样本的平均数为 $\bar{X}$ ，方差为 $S^{2}$ ，则（）

A、 $\bar{X} < 70, S^{2} < 75$ B、 $\bar{X} > 70, S^{2} > 75$ C、 $\bar{X} = 70, S^{2} < 75$ D、 $\bar{X} = 70, S^{2} > 75$

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10、下图是一组数据的频率分布直方图，设这组数据的平均数为M，中位数为N，则关于M与N的大小关系，下面说法正确的是（）

A、 $M > N$ B、 $M < N$ C、 $M = N$ D、不确定

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11、已知直线 $m$ 和两个不同的平面 $α, β$ ，则下列四个命题中正确的是（）

A、若 $α ⊥ β, m \subset β$ ，则 $m ⊥ α$ B、若 $α / / β, m / / α$ ，则 $m / / β$ C、若 $m / / α, m / / β$ ，则 $α / / β$ D、若 $α / / β, m ⊥ α$ ，则 $m ⊥ β$

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12、一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为（）

A、32 B、 $\frac{32}{π}$ C、 $\frac{16}{π}$ D、 $\frac{8}{π}$

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13、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ B A D = 60 °$ ， $P B = P D$ ， $P A ⊥ P C$ ，点E，F分别为棱 $A D$ ， $P C$ 的中点.

(1)、求证： $E F //$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若直线 $P C$ 与平面 $A B C D$ 所成角的大小为 $30 °$ .
①求二面角 $B - P A - D$ 的余弦值；
②求点F到平面 $P A B$ 的距离.

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14、为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分（满分100分），并制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.

(1)、求图中a的值，并求综合评分的平均数；

(2)、用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中最多有1个一等品的概率；

(3)、已知落在 $[50, 60)$ 的平均综合评分是54，方差是3，落在 $[60, 70)$ 的平均综合评分为63，方差是3，求落在 $[50, 70)$ 的总平均综合评分 $\bar{z}$ 和总方差 $s^{2}$ .

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15、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，且 $\cos C = \frac{2 a - c}{2 b}$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = 3$ ， $\sin C = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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16、如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是正方形， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D$ ．

(1)、证明：平面 $A_{1} B D$ ∥平面 $C D_{1} B_{1}$ ；

(2)、证明：平面 $A_{1} B D ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ．

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17、同时掷红、蓝两颗质地均匀的正方体骰子，用 $(x, y)$ 表示结果，其中x表示红色骰子向上一面的点数，y表示蓝色骰子向上一面的点数.

(1)、写出该试验的样本空间；

(2)、指出 $\{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)\}$ 所表示的事件；

(3)、写出“点数之和不超过5”这一事件的集合表示.

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18、在三棱锥 $P - O A B$ 中，已知 $P O ⊥$ 平面OAB， $O P = 10$ ， $A B = 20$ ， $P A$ 与平面 $O A B$ 所成的角为 $30^{\circ}$ ， $P B$ 与平面 $O A B$ 所成的角为 $45^{\circ}$ ，则 $∠ A O B =$ ．（用角度表示）

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19、已知平面内 $A, B, C$ 三点不共线，且点 $O$ 满足 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \vec{O B} \cdot \vec{O C} = \vec{O A} \cdot \vec{O C}$ ，则 $O$ 是 $△ A B C$ 的心.（填“重”或“垂”或“内”或“外”）

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20、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $△ A B C$ 的周长为 $3, B = 60 °$ ，则（）

A、若 $2 b = a + c$ ，则 $△ A B C$ 是等边三角形 B、存在非等边 $△ A B C$ 满足 $b^{2} = a c$ C、 $△ A B C$ 内部可以放入的最大圆的半径为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ D、可以完全覆盖 $△ A B C$ 的最小圆的半径为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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