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相关试卷

1、四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 为菱形， $∠ A D C = 60^{\circ}, P A = A D = 2, E$ 为 $A D$ 的中点.

(1)、求证：平面 $P C E ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求 $P C$ 与平面 $P A D$ 所成的角的正切值；

(3)、求钝二面角 $B - P C - E$ 的余弦值.

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2、一个不透明的袋中有3个红球，1个白球，球除了颜色外大小､质地均一致.设计了两个摸球游戏，其规则如下表所示

游戏1
游戏2
摸球方式
不放回依次摸2球
有放回依次摸2球
获胜规则
若摸出的2球颜色相同，则甲获胜
若摸出的2球颜色不同，则乙获胜

(1)、写出游戏1与游戏2的样本空间；求出在游戏1与游戏2中甲获胜的概率，并说明哪个游戏是公平的.

(2)、甲与乙两人玩游戏2，约定每局胜利的人得2分，否则得0分，先得到4分的人获得比赛胜利，则游戏结束.每局游戏结果互不影响，求甲获得比赛胜利的概率.

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3、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $E, F, G, H$ 分别是 $A B, A C, A_{1} B_{1}, A_{1} C_{1}$ 的中点.求证：

(1)、证明： $B, C, H, G$ 四点共面；直线 $A_{1} A$ ，直线 $B G$ ，直线 $C H$ 三线共点

(2)、平面 $E F A_{1} / /$ 平面 $B C H G$ .

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4、为备战运动会，射击队的甲､乙两位射击运动员开展了队内对抗赛.在对抗赛中两人各射靶10次，每次命中的成绩（环数）如下：
甲 4 7 6 5 4 9 10 7 8 10
乙 7 5 8 6 7 9 7 6 7 8

(1)、求甲运动员的样本数据第85百分位数；

(2)、分别计算这两位运动员射击成绩的平均数和方差；

(3)、射击队教练希望利用此次射击成绩为依据，挑选一名运动员参加运动会，请你帮助教练分析两个运动员的成绩，作出判断并说明理由.
注：一组数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的平均数为 $\bar{x}$ ，它的方差为 $s^{2} = \frac{1}{n} [{(x_{1} - \bar{x})}^{2} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + \dots + {(x_{n} - \bar{x})}^{2}]$

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5、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $a cos B = b cos A$ .

(1)、证明： $△ A B C$ 为等腰三角形

(2)、若 $c = 5, cos C = \frac{12}{13}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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6、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C, P A = 1, A B = 1, B C = \sqrt{2}, A C = \sqrt{3}$ ，设三棱锥 $P - A B C$ 外接球体积为 $V$ ，则 $\frac{V}{V_{P - A B C}} =$ .

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7、对某校学生体重进行调查，采用按样本量比例分配的分层抽样.已知抽取女生30人，其平均数和方差分别为 $\bar{x} = 52, s_{1}^{2} = 13$ ；抽取男生20人，其平均数和方差分别为 $\bar{y} = 57, s_{2}^{2} = 11$ ，则总样本平均数为；总样本的方差为.

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8、 $3 + i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 6 x + m = 0$ 的一个根，则实数 $m =$ .

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9、已知向量 $\vec{a} = (1, x)$ ， $\vec{b} = (4, - x)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ .

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10、如图所示，正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2 A_{1} B_{1} = 2 A A_{1} = 12$ ，点 $P$ 在四边形 $A B C D$ 内，点 $E$ 是 $A D$ 上靠近点 $A$ 的三等分点，则下列说法正确的是（）

A、 $A A_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ B、该正四棱台的高为 $3 \sqrt{3}$ C、若 $A_{1} P = 3 \sqrt{6}$ .，则动点 $P$ 的轨迹长度是 $10 π$ D、过点 $E$ 的平面 $α$ 与平面 $D_{1} A C$ 平行，则平面 $α$ 截该正四棱台所得截面多边形的面积为 $16 \sqrt{2}$

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11、某校举办了一次法律知识竞赛，为了解学生的法律知识掌握程度，学校采用简单随机抽样从全校2400名学生中抽取了一个容量为200的样本，已知样本的成绩全部分布在区间 $[45, 95]$ 内，根据调查结果绘制学生成绩的频率分布直方图.对于该组数据，下列说法正确的是（）

A、样本的众数为70 B、样本中得分在区间 $[75, 85)$ 内的学生人数的频率为0.03 C、用样本数据估计该校学生成绩在80分以上的人数约为600人 D、用样本数据估计该校学生成绩平均数约为71.5

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12、在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4, A D = 2, ∠ B A D = 60 °, E$ 是 $C D$ 的中点，则（）

A、 $\vec{A E} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{A D}$ B、 $| \vec{A E} | = 12$ C、 $\vec{A E} \cdot \vec{B D} = - 6$ D、 $\vec{A D}$ 在 $\vec{A B}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{A B}$

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13、已知复数 $z_{1} = 1 + i, z_{2} = 3 + 3 i$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $|z_{1} + z_{2}| = 16$ B、 $z_{1} - z_{2}$ 对应的点在复平面的第三象限 C、 $z_{1} z_{2}$ 为纯虚数 D、 $\frac{z_{1}}{z_{2}} \in R$

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14、已知 $O$ 为 $△ A B C$ 内一点，且满足 $3 \vec{O A} + 4 \vec{O B} + 5 \vec{O C} = 2 \vec{A B} + 3 \vec{B C} + \vec{C A}$ ，则 $\frac{S_{△ A O B}}{S_{△ A B C}} =$ （）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{5}$

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15、冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象､新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用 $30^{\circ} ､ 45^{\circ} ､ 60^{\circ} ､ 90^{\circ} ､ 120^{\circ} ､ 150^{\circ}$ 等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了 $△ A B D$ ，如图，测得 $A B = 5, B D = 6, A C = 4, A D = 3$ ，若点 $C$ 恰好在边 $B D$ 上，则 $sin ∠ A C D$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{5}{9}$ C、 $\frac{\sqrt{14}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{22}}{6}$

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16、已知样本空间 $Ω = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ ，事件 $A = \{1, 2, 3, 4\}$ ，事件 $B = \{1, 2, 5, 6\}$ ，事件 $C = \{3, 4, 5, 6\}$ ，则下列选项错误的是（）

A、 $A$ 与 $B$ 独立 B、 $B$ 与 $C$ 独立 C、 $A$ 与 $C$ 独立 D、 $P (A B C) = P (A) P (B) P (C)$

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17、设 $α ､ β$ 为不重合的两平面， $n ､ m$ 为不重合的两直线，则下列说法正确的是（）

A、 $m$ $∥$ $α, n$ $∥$ $α$ ，且 $m, n \subset β$ ，则 $β$ $∥$ $α$ B、 $m$ $∥$ $α, m ⊥ n$ ，则 $n ⊥ α$ C、 $m ⊥ α, α ⊥ β$ ，则 $m$ $∥$ $β$ D、 $m ⊥ α, m \cap n = P$ ，则 $n$ 与 $α$ 不垂直

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18、已知数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{8}$ 的平均数 $\bar{x} = 10$ ，方差 $s_{1}^{2} = 10$ ，则 $3 x_{1} + 2, 3 x_{2} + 2, 3 x_{3} + 2, \dots, 3 x_{8} + 2$ 的平均数 $\bar{y}$ 和方差 $s_{2}^{2}$ 分别为（）

A、 $\bar{y} = 32, s_{2}^{2} = 90$ B、 $\bar{y} = 32, s_{2}^{2} = 92$ C、 $\bar{y} = 30, s_{2}^{2} = 90$ D、 $\bar{y} = 30, s_{2}^{2} = 92$

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19、下列各组向量中，可以作为基底的是

A、 $\vec{e_{1}} = (0, 0), \vec{e_{2}} = (1, 2)$ B、 $\vec{e_{1}} = (- 1, 2), \vec{e_{2}} = (5, 7)$ C、 $\vec{e_{1}} = (3, 5), \vec{e_{2}} = (6, 10)$ D、 $\vec{e_{1}} = (2, - 3), \vec{e_{2}} = (- 6, 9)$

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20、已知复数 $z = \frac{2 - i^{3}}{i}$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、-1 B、1 C、-2 D、2

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