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相关试卷

1、已知集合 $A = \{x| x^{2} - 3 x > 0\}, B = \{0,1, 2,3, 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{4\}$ D、 $\{0, 3, 4\}$

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2、如图①，在直角梯形 $A B C D$ 中， $∠ A D C = 90 °$ ， $A B ∥ C D$ ， $A D = C D = \frac{1}{2} A B$ ， E为 $A C$ 的中点，将 $△ A C D$ 沿 $A C$ 折起构成几何体 $D - A B C$ ，如图②．在图②所示的几何体 $D - A B C$ 中：

(1)、在棱 $C D$ 上找一点F，满足 $A D ∥$ 平面 $B E F$ ，求几何体 $E - B C F$ 与几何体 $D - A B C$ 的体积比；

(2)、当几何体 $D - A B C$ 的体积最大时，
①求证： $B C ⊥$ 平面 $A C D$ ；
②求二面角 $D - A B - C$ 的余弦值．

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3、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，现有三个条件：
① $(2 a + b) \cos C + c \cos B = 0$ ；
② $\sin^{2} A + \sin^{2} B - \sin^{2} C + \sin A \sin B = 0$ ；
③ $c^{2} - a^{2} - b^{2} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} S$ （S为 $△ A B C$ 的面积）．
请从以上三个条件中选择一个填入下面横线上作为前提条件，并求解．（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）
已知：______．

(1)、若 $B C = 2$ ， $A B = 2 \sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 内切圆的半径；

(2)、若点D是 $A B$ 上一点，且 $B D = 2 D A$ ， $△ A B C$ 的面积 $S = \sqrt{3}$ ，求 $C D$ 的最小值．

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4、已知向量 $\vec{m} = (2 \sin ω x, \sin ω x)$ ， $\vec{n} = (\cos ω x, 2 \sqrt{3} \sin ω x) (ω > 0)$ ，函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n} - \sqrt{3}$ 的部分图象如图所示：

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和单调区间；

(2)、函数 $g (x) = f (x) - m$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 有两个不同的零点，求m的取值范围．

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5、如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = D C$ ， E是 $P C$ 的中点，过点D作 $D F ⊥ P B$ 于点F．求证：

(1)、 $P A / /$ 平面 $B D E$ ；

(2)、 $P B ⊥$ 平面 $D E F$ ．

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6、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, 1)$ ， $\vec{c} = (λ, 1)$ ．

(1)、若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，求 $λ$ 值；

(2)、若向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 在 $\vec{c}$ 方向上的投影向量为 $\frac{1}{5} \vec{c}$ ，求 $λ$ 的值．

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7、在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 2$ ， E为 $A D$ 的中点，F为 $A B$ 的中点，Q为边 $C D$ 上的动点（包括端点），则 $\vec{Q E} \cdot \vec{Q F}$ 的取值范围为．

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8、已知扇形的半径为3，中心角为 $\frac{2π}{3}$ ，则这个扇形围成的圆锥的内切球的体积是．

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9、已知向量 $\vec{m} = (\cos θ, \sin θ)$ ， $\vec{n} = (- 1, 2)$ ，且 $\vec{m} ∥ \vec{n}$ ，则 $\cos^{2} θ - \frac{1}{2} \sin 2 θ =$ ．

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10、如图所示，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F，G分别为 $B C$ ， $C C_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点，则有（）

A、直线 $A_{1} G //$ 平面 $A E F$ B、异面直线 $E F$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ C、直线 $A_{1} G$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $\frac{π}{6}$ D、平面 $A E F$ 截正方体所得的截面面积为 $\frac{9}{2}$

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11、已知向量 $\vec{A C} = (k + 3, 1)$ ， $\vec{A B} = (2 k, 4)$ ，且 $△ A B C$ 是直角三角形，则k的值可以是（）

A、 $- 1$ 或 $- 2$ B、1或2 C、 $\pm \sqrt{6}$ D、 $\pm 3$

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12、下列命题正确的是（）

A、复数 $z = - 3 + 2 i$ 的共轭复数是 $\bar{z} = 3 - 2 i$ B、复数 $z = a^{2} + a - 2 + (a^{2} - 3 a + 2) i (a \in R)$ 是纯虚数，则 $a = - 2$ C、复数 $z = m + 1 + i \ln (m^{2} - 1) (m \in R)$ 所对应的点在第二象限，则 $m < - \sqrt{2}$ D、已知 $z_{0} = 3 - 4 i$ ，复数z满足 $|z - z_{0}| = 1$ ，则 $|z|$ 的最大值为6

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13、如图，为了测量花溪河对岸一座塔楼 $C D$ 的高度，测量者小王在岸边点A处测得塔顶D的仰角为 $30 °$ ，塔底C与A的连线与河岸成 $15 °$ 角，小王沿河岸向西走了40米到达M处，测得塔底C与M的连线与河岸成 $60 °$ 角，则塔楼 $C D$ 的高度为（）

A、20米 B、25米 C、 $20 \sqrt{3}$ 米 D、 $20 \sqrt{2}$ 米

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14、已知 $a = \sqrt{x} + \frac{1}{4 \sqrt{x}}, x > 0$ ， $b = e^{- 0.3}$ ， $c = \log_{2} \frac{2}{3}$ ，则有（）

A、 $b > a > c$ B、 $a > b > c$ C、 $c > b > a$ D、 $a > c > b$

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15、在 $△ A B C$ 中，D为边 $B C$ 的中点，E，F分别为边 $A B$ ， $A C$ 上的点，且 $\vec{A B} = 3 \vec{A E}$ ， $\vec{A C} = 4 \vec{A F}$ ，若 $\vec{A D} = λ \vec{A E} + μ \vec{A F}$ ， $λ, μ \in R$ ，则 $2 λ - μ$ 值为（）

A、1 B、 $\frac{7}{2}$ C、3 D、5

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16、用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来实际图形的周长是（）

A、 $2 + 2 \sqrt{2}$ B、 $4 + 2 \sqrt{2}$ C、6 D、8

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17、已知 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，直线 $l \subset β$ ，则“ $α ∥ β$ ”是“ $l ∥ α$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、设复数 $z_{1}$ 所对应的点是 $(- 3, 1)$ ， $z_{2}$ 对应的点是 $(- 1, 1)$ ，则 $z_{1} z_{2} =$ （）

A、 $- 4 + 2 i$ B、 $2 - 4 i$ C、 $2 + 4 i$ D、 $- 2 - 4 i$

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19、设集合 $A = \{x |y = \sqrt{x^{2} - 1}\}$ ， $B = \{x |0 < x \leq 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 2]$ B、 $(1, 2]$ C、 $[1, 2]$ D、 $[1, 2)$

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20、若无穷数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为整数．且对于 $\forall i, j \in N^{*}$ ， $i < j$ ，都存在 $k > j$ ，使得 $a_{k} = a_{i} a_{j} - a_{i} - a_{j}$ ，则称数列 $\{a_{n}\}$ 满足性质P．

(1)、判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
① $a_{n} = n$ ， $n = 1$ ， 2，3，…；
② $b_{n} = n + 2$ ， $n = 1$ ， 2，3，…．

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足性质P，且 $a_{1} = 1$ ，求证：集合 $\{n \in N^{*} |a_{n} = 3\}$ 为无限集；

(3)、若周期数列 $\{a_{n}\}$ 满足性质P，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式．

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