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相关试卷

1、若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 对任意实数 $x$ 、 $y$ 恒有 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，当 $x < 0$ 时， $f (x) > 0$ ，且 $f (- 1) = 2$ .

(1)、求证： $f (x)$ 为奇函数；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- 3, 3]$ 上的最小值；

(3)、解关于 $m$ 的不等式： $f (3 m^{2}) > f (m + 2) - 4$ .

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2、已知不等式 $2 \leq a x^{2} + b x + c \leq 3$ 的解集为 $\{x ∣ 2 \leq x \leq 3\}$

(1)、若 $a > 0$ ，且不等式 $a x^{2} + (b - 3) x - c \leq 0$ 有且仅有10个整数解，求 $a$ 的取值范围；

(2)、解关于 $x$ 的不等式： $a x^{2} + (b - 1) x + 5 < 0$ .

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3、设命题p： $\{x |x^{2} + 2 x - 3 < 0\}$ ， q： $\{x |x^{2} + (m - 1) x - m < 0, m \neq - 1\}$ ．

(1)、若 $m = 4$ ，判断p是q的什么条件；

(2)、若 $\neg p$ 是 $\neg q$ 的，求m的取值集合．从①充分不必要条件，②必要不充分条件，这两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上，并给予解答．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

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4、已知 $\cos α = \frac{3}{5}, \sin (β - α) = - \frac{5}{13}$ ， $α, β$ 均为锐角，则 $\sin β =$ ．

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5、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{3}{4}, 0)$ 对称，且满足 $f (x) = - f (x + \frac{3}{2})$ ，又 $f (- 1) = 1$ ， $f (0) = - 2$ ，则 $f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (2010) + f (2011) =$ .

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6、北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候､全天时､高精度､高定位､导航､授时服务，2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数 $f (x) = |2 sin (2 x - \frac{π}{3})|$ 近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6}, 0)$ 对称 C、函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴是 $x = \frac{π}{6}$ D、若 $f (x_{1}) f (x_{2}) = 4, x_{1} \neq x_{2}$ ，则 $|x_{1} - x_{2}|$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$

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7、下列命题正确的是（）

A、 $x > 2$ 是 $x > 3$ 的必要不充分条件 B、若 $a + b = 2, a > 0, b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值是4 C、函数 $y = \log_{a} (x - 2) + 1$ 的图象恒过 $(3, 1)$ 点 D、若 $f (x)$ 的定义域是 $[1, 2]$ ，则 $f (2^{x})$ 的定义域是 $(0, 1)$

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8、设函数 $f (x) = m \cos (x + α) + n \cos (x + β)$ ，其中 $m$ ， $n$ ， $α$ ， $β$ 为已知实常数， $x \in R$ ，若 $f (0) = f (\frac{π}{2}) = 0$ ，则（）

A、对任意实数 $x$ ， $f (x) = 0$ B、存在实数 $x$ ， $f (x) \neq 0$ C、对任意实数 $x$ ， $f (x) > 0$ D、存在实数 $x$ ， $f (x) < 0$

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9、教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于 $0.1 %$ .经测定，刚下课时，空气中含有 $0.2 %$ 的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为 $y %$ ，且 $y$ 随时间 $t$ （单位：分钟）的变化规律可以用函数 $y = 0.05 + λ e^{- \frac{t}{10}} (λ \in R)$ 描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据： $ln 3 \approx 1.1$ ）（）

A、11分钟 B、14分钟 C、16分钟 D、20分钟

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} e^{x} - 3, x > 0, \\ 2 - {(x + 1)}^{2}, x \leq 0, \end{array}$ 则 $y = f (f (x)) - 1$ 的零点个数为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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11、某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是（）

A、 $\{x |10 \leq x < 16\}$ B、 $\{x |12 \leq x < 18\}$ C、 $\{x |15 \leq x < 20\}$ D、 $\{x |10 \leq x < 20\}$

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12、对于函数 $y = f (x)$ ，若存在 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) = - f (- x_{0})$ ，则称点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 与点 $(- x_{0}, f (- x_{0}))$ 是函数 $y = f (x)$ 的一对“隐对称点”，若函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 2 x, x < 0 \\ m x + 2, x \geq 0 \end{cases}$ ，存在“隐对称点”，则实数m的取值范围是（）

A、 $[2 - 2 \sqrt{2}, 0)$ B、 $(- \infty, 2 - 2 \sqrt{2}]$ C、 $(- \infty, 2 + 2 \sqrt{2}]$ D、 $(0, 2 + 2 \sqrt{2}]$

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13、下列不等式恒成立的是（）

A、 $a^{2} + b^{2} \leq 2 a b$ B、 $a + b \geq - 2 \sqrt{|a b|}$ C、 $a^{2} + b^{2} \geq - 2 a b$ D、 $a + b \leq 2 \sqrt{|a b|}$

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14、已知 $p : | x + 1 | \leq 2, q : x < a$ ，且 $p$ 是 $q$ 的充分条件，则实数 $a$ 可以是（）

A、3 B、1 C、 $- 1$ D、 $- 3$

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15、已知集合 $A = \{x |x (x - 1) = 0\}, B = \{x |- 2 \leq x \leq 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、{-2，-1，0，1，2} B、{0，1} C、{-1，1，2} D、{-1，0，2}

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16、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是菱形， $∠ A B C = 60 °, B D ⊥ P C, A B = 4, A P = \sqrt{10}, C P = 3 \sqrt{2}$ ．

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(2)、求二面角 $C - P D - B$ 的余弦值．

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17、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C, P A = 2, P B = \sqrt{7}, A B = 3, M$ 为棱 $A B$ 上靠近点 $B$ 的三等分点，且 $C M$ 为 $∠ A C B$ 的角平分线，则二面角 $P - A C - B$ 的平面角的正切值的最小值为．

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18、现准备给一半径为 $6 cm$ 的实心球体玩具制作一个圆台型带盖的纸质包装盒，要使制成的包装盒能装下该球体玩具，且该包装盒的下底面是半径为 $4 cm$ 的圆，则制成的包装盒的容积最小为（）

A、 $133 {πcm}^{3}$ B、 $399 {πcm}^{3}$ C、 $266 {πcm}^{3}$ D、 $532 {πcm}^{3}$

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19、已知向量 $\vec{a} = (3 sin θ + cos θ, sin θ - 5 cos θ), \vec{b} = (3 sin θ, cos θ), θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $tan θ =$ （）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $- 1$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $\frac{5}{9}$

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20、有一组样本数据都在区间 $[1, 21]$ 内，将其制成如图所示的频率分布直方图，估计该组样本数据的平均数为（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（）

A、10 B、10.68 C、10.58 D、12

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