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相关试卷

1、全国中学生奥林匹克数学竞赛是由中国数学会主办的获得教育部批准的全国性赛事，相应的赛区初赛也是该项活动的一个环节.按照中国数学会有关全国中学生奥林匹克数学竞赛组委会的精神，以及浙江省科协的要求，2024年5月19日全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛如期举行.已知某中学有40人参加此次数学竞赛（满分为150分），其取得的成绩绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、求 $m$ 的值及学生成绩的第75百分位数；

(2)、若按照各组频率的比例采用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在 $[100, 120)$ 内的学生中抽取 $3$ 人参加座谈会，求成绩为 $107$ 分的学生甲恰好被抽到的概率.

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2、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，满足 $|\vec{a}| = 3, |\vec{b}| = 2$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ .

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值；

(2)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b} - \vec{a}$ 夹角的余弦值.

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3、平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，数学中我们经常会用到类比的方法，把平面向量推广到空间向量，利用空间向量表示空间点、直线、平面等基本元素，经过研究发现，平面向量中的加减法、数乘与数量积运算法则同样也适用于空间向量.在四棱锥 $P - A B C D$ 中，已知 $A B C D$ 是平行四边形， $∠ A B C = 120^{\circ}, A B = 2, B C = 3$ ，且 $P A ⊥$ 面 $A B C D$ ，则向量 $\vec{P C}$ 在向量 $\vec{B D}$ 方向上的投影向量是(结果用 $\vec{B D}$ 表示).

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4、如图，相距 $2 \sqrt{3}$ 米的 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间是一条小路（ $l_{1}$ ， $l_{2}$ 可看作两条平行直线），为测量点 $A$ 到 $l_{2}$ 的距离 $h$ （ $l_{1}$ ， $l_{2}$ 在点 $A$ 的同侧），某研究小组在 $l_{2}$ 一侧东边选择点 $B$ ，作为测量起始位置， $A B$ 与 $l_{1}$ 交于点 $M$ ，从点 $B$ 出发向西走 $2 \sqrt{3}$ 米到达 $N$ ，测得 $M N ⊥ l_{2}$ ，继续向西走 $4 \sqrt{3} - 6$ 米到达点 $C$ ， $A C$ 与 $l_{1}$ 交于点 $P$ ，继续向西走 $2$ 米到达点 $Q$ ，测得 $P Q ⊥ l_{2}$ ，则 $h =$ .

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5、已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 $2$ 的半圆，则该圆锥的体积为.

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6、已知 $z \cdot i = 1 - 2 i$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点的坐标为.

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7、如图，棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 是线段 $B_{1} D_{1}$ 上靠近 $D_{1}$ 的四等分点，点 $N$ 是线段 $B_{1} C$ 的中点，点 $P, Q$ 分别是在线段 $A_{1} C_{1}, B D_{1}$ 上的动点，下列结论正确的是（）

A、异面直线 $A_{1} C_{1}$ 与 $A B_{1}$ 所成角为 $45^{\circ}$ B、 $B D_{1} ⊥$ 平面 $A B_{1} C$ C、三棱锥 $P - A C B_{1}$ 的体积是定值 D、 $Q M + Q N$ 的最小值是 $\frac{3}{2} \sqrt{2}$

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8、在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{6}$ ， $A B = 2$ ，下列结论正确的是（）

A、若 $A C = \sqrt{3}$ ，则 $B C = 1$ B、若 $B C = \sqrt{2}$ ，则 $C = \frac{π}{4}$ C、若 $△ A B C$ 有两解，则 $B C \in (1, 2)$ D、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，则 $A C \in (\sqrt{3}, \frac{4 \sqrt{3}}{3})$

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9、给出下列说法，其中正确的是（）

A、数据 $0, 1, 2, 2, 4, 5$ 的极差与众数之和为 $7$ B、从装有 $3$ 个红球， $4$ 个白球的袋中任意摸出 $3$ 个球，事件 $A =$ “至少有 $2$ 个红球”，事件 $B =$ “都是白球”，则事件 $A$ 与事件 $B$ 是对立事件 C、甲乙两人投篮训练，甲每次投中的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙每次投中的概率为 $\frac{1}{2}$ ，甲乙两人投篮互不影响，则甲乙各投篮一次同时投中的概率为 $\frac{1}{3}$ D、一组不完全相同数据 $x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}$ 的方差为 $2$ ，则数据 $2 x_{1} + 1, 2 x_{2} + 1, ..., 2 x_{n} + 1$ 的方差为 $4$

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10、下列四个命题为真命题的是（）

A、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$ B、若 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $\vec{b} = (3, 6)$ ，则 $\vec{a}, \vec{b}$ 可作为平面向量的一组基底 C、 $\vec{a} = (1, λ)$ ， $\vec{b} = (- 4, λ)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $λ = 2$ D、 $\vec{a} = (5, 0)$ ， $\vec{b} = (- 4, 3)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量为 $(- 4, 0)$

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11、已知 $a \in R$ ，在复数范围内 $x_{1}, x_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + a = 0$ 的两个根，则关于 $a$ 的函数 $f (a) = \frac{x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2}}{|x_{1}| + |x_{2}|} - \frac{29}{20}$ 的零点的个数是（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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12、已知正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4, A_{1} B_{1} = 2, A A_{1} = 2 \sqrt{2}$ ，球 $O$ 与上底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 以及各侧棱 $A A_{1}, B B_{1}, C C_{1}, D D_{1}$ 均相切，则该球的表面积为（）

A、 $28π$ B、 $24π$ C、 $20π$ D、 $16π$

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13、在 $Δ A B C$ 中， $\sin A : \sin B : \sin C = 5 : 7 : 8$ ，则该三角形外接圆半径 $R$ 与内切圆半径 $r$ 的比值是（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{7}{3}$ D、 $\frac{8}{3}$

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14、某射击初学者在连续6次射击练习中所得到的环数： $4, 3, 7, 5, 1, x$ ，该组数据的平均数与中位数相等，则 $x =$ （）

A、 $1$ B、 $4$ C、 $7$ D、以上答案均有可能

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15、已知平面 $α, β$ ，直线 $l \subset α$ ，直线 $m$ 不在平面 $α$ 上，下列说法正确的是（）

A、若 $m ⊥ β$ ， $l / / m$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $m / / β$ ， $l / / m$ ，则 $α / / β$ C、若 $α / / β$ ， $m / / β$ ，则 $l / / m$ D、若 $α ⊥ β$ ， $l ⊥ m$ ，则 $m / / β$

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16、已知平行四边形 $A B C D$ ， $B (- 1, 2)$ ， $C (2, 4)$ ，则 $\vec{A C} + \vec{B D} =$ （）

A、 $(- 2, 2)$ B、 $(3, 3)$ C、 $(4, 6)$ D、 $(6, 4)$

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17、两名男生，一名女生排成一排合影，则女生站在中间的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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18、已知复数 $z = a - i$ 的实部与虚部相等，则 $|z - i| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{10}$

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19、已知函数 $f (x) = x^{2} + m x - m, g (x) = \frac{f (x)}{x},$ 且函数 $y = f (x - 2)$ 是偶函数

(1)、求 $g (x)$ 的解析式

(2)、若不等式 $g (\ln x) - n \ln x \geq 0$ 在 $x \in [\frac{1}{e^{2}}, 1)$ 上恒成立，求 $n$ 的取值范围

(3)、若函数 $y = g (\log_{2} (x^{2} + 4)) + k \cdot \frac{2}{\log_{2} (x^{2} + 4)} - 9$ 恰好有三个零点，求 $k$ 的值及该函数的零点

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20、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 ω x + \cos 2 ω x + 1$ $(ω > 0)$ 的最小正周期为T．若 $π \leq T < 4 π$ ，且 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称.

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{3}]$ 上的最值.

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