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相关试卷

1、如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $∠ C D A = ∠ C B A = 90^{°}$ ， $∠ B A D = 120^{°}$ ， $A B = A D = 1$ ，若点 $E$ 为 $C D$ 边上的动点，则 $\vec{A E} \cdot \vec{B E}$ 的最小值为．

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2、在 $△ A B C$ 中，已知 $B = 120 °$ ， $A C = \sqrt{19}$ ， $A B = 2$ ，则 $B C =$ .

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3、对于 $△ A B C$ 中，有如下判断，其中正确的判断是（）．

A、若 $a = 8$ ， $c = 10$ ， $A = 60 °$ ，则符合条件的 $△ A B C$ 有两个 B、若 $\sin^{2} A + \sin^{2} B > \sin^{2} C$ ，则 $△ A B C$ 是锐角三角形 C、若 $S_{△ A B C} = a^{2} \sin A$ ，则 $\cos A$ 的最小值为 $\frac{3}{4}$ D、若点P在 $△ A B C$ 所在平面且 $\vec{O P} = \frac{\vec{O B} + \vec{O C}}{2} + λ (\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}| \cos B} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}| \cos C})$ ， $λ \in [0, + \infty)$ ，则点P的轨迹经过 $△ A B C$ 的外心．

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4、在 $△ A B C$ 中，边 $a, b, c$ 所对的角分别为 $A, B, C$ ，若 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - \sqrt{3} b c, \sin C = 2 \cos B$ ，则（）

A、 $a = \sqrt{3} b$ B、 $b = \sqrt{3} a$ C、 $c = \sqrt{3} b$ D、 $c = 2 a$

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5、如图，在 $△ O A B$ 中，点 $C$ 满足 $B C = 2 C A$ ，点 $P$ 为 $O C$ 的中点，过点 $P$ 的直线分别交线段 $O A$ ， $O B$ 于点 $M$ ， $N$ ，若 $O M = λ O A$ ， $O N = μ O B$ ，则 $2 λ + μ$ 的最小值为（）

A、9 B、4 C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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6、锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\frac{\cos C}{c} + \frac{\sin A \tan C}{a} = \frac{1}{\sin 2 C}$ ， $b = \sqrt{3}$ ，则 $a + c$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{3}{2}, 3]$ B、 $(3, 2 \sqrt{3}]$ C、 $(\sqrt{3}, 2 \sqrt{3}]$ D、 $(\sqrt{3}, 3]$

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7、 $2024$ 年3月，树人中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前 $200$ 名学生分布的饼状图（如图）和前 $200$ 名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（）

A、成绩前 $200$ 名的 $200$ 人中，高一人数比高二人数多30人 B、成绩第1- $100$ 名的 $100$ 人中，高一人数不超过一半 C、成绩第1-50名的50人中，高三最多有32人 D、成绩第51- $100$ 名的50人中，高二人数比高一的多

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8、已知 $△ A B C$ 的外接圆圆心为 $O$ ， $\vec{A O} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$ ， $|\vec{O A}| = |\vec{A B}|$ ，则 $\vec{A C}$ 在 $\vec{B C}$ 上的投影向量为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$ C、 $- \frac{3}{4} \vec{B C}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{B C}$

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9、设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $a = \sqrt{3}$ ， $b = 1$ ， $A = 60 °$ ，则 $B$ 等于（）

A、 $30 °$ B、 $30 °$ 或 $150 °$ C、 $60 °$ D、 $150 °$

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10、已知在 $△ A B C$ 中， $a : b : c = 3 : 2 : 4$ ，那么 $\cos C$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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11、从某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩中抽取200名学生的成绩进行统计分析，在这个问题中，200名学生的成绩是（）

A、总体 B、个体 C、从总体中所取的一个样本 D、总体的容量

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12、已知复数 $z = \frac{2 - 5 i}{i}$ ，则z的虚部为（）

A、2 B、 $- 2$ C、5 D、 $- 5$

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13、一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂，并只受重力的影响，这个项链形成的曲线形状被称为悬链线.1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰・伯努利等得到“悬链线”方程 $y = \frac{c (e^{\frac{x}{c}} + e^{- \frac{x}{c}})}{2}$ ，其中 $c$ 为参数.当 $c = 1$ 时，就是双曲余弦函数 $ch (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，类似地双曲正弦函数 $sh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.

(1)、类比三角函数的三个性质：
①倍角公式 $sin 2 x = 2 sin x cos x$ ；
②平方关系 ${sin}^{2} x + {cos}^{2} x = 1$ ；
③求导公式 $\{\begin{array}{l} {(sin x)}^{'} = cos x ， \\ {(cos x)}^{'} = - sin x \end{array}$
写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；

(2)、当 $x > 0$ 时，双曲正弦函数 $y = sh (x)$ 图象总在直线 $y = k x$ 的上方，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、若 $x_{1} > 0 ， x_{2} > 0$ ，证明： $[ch (x_{2}) + sh (x_{2}) - x_{2} - 1] \cdot [ch (x_{1}) + sh (x_{1})] > sin (x_{1} + x_{2}) - sin x_{1} - x_{2} cos x_{1} .$

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14、已知椭圆 $G : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，右焦点为 $(2 \sqrt{2}, 0)$ ，斜率为1的直线 $l$ 与椭圆 $G$ 交于 $A, B$ 两点，以 $A B$ 为底边作等腰三角形，顶点为 $P (- 3, 2)$ .
（1）求椭圆 $G$ 的方程；
（2）求 $△ P A B$ 的面积.

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15、设函数 $f (x) = m (x + 1) e^{x}, m > 0$ .

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若对任意 $x \in (- 1, + \infty)$ ，有 $ln f (x) \leq 2 e^{x}$ 恒成立，求 $m$ 的最大值.

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16、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B ∥ C D$ ， $A B = 1$ ， $B C = 1$ ， $C D = 2$ ，点 $A$ 在平面 $P C D$ 内的投影恰好是△ $P C D$ 的重心 $G$ ．

(1)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求直线 $D G$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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17、杭州是国家历史文化名城，为了给来杭州的客人提供最好的旅游服务，某景点推出了预订优惠活动，下表是该景点在某App平台10天预订票销售情况：
日期 $t$
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
销售量 $y$ （万张）
1.93
1.95
1.97
1.98
2.01
2.02
2.02
2.05
2.07
0.5
经计算可得： $\bar{y} = \frac{1}{10} \sum_{i = 1}^{10} y_{i} = 1.85, \sum_{i = 1}^{10} t_{i} y_{i} = 96, \sum_{i = 1}^{10} t_{i}^{2} = 385$ .

(1)、因为该景点今年预订票购买火爆程度远超预期，该App平台在第10天时系统异常，现剔除第10天数据，求 $y$ 关于 $t$ 的线性回归方程（结果中的数值用分数表示）；

(2)、该景点推出团体票，每份团体票包含四张门票，其中 $X$ 张为有奖门票（可凭票兑换景点纪念品）， $X$ 的分布列如下：
$X$
2
3
4
$P$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{6}$
今从某份团体票中随机抽取2张，恰有1张为有奖门票，求该份团体票中共有3张有奖门票的概率.
附：对于一组数据 $(u_{1}, v_{1}), (u_{2}, v_{2}), \dots, (u_{n}, v_{n})$ ，其回归线 $\hat{v} = \hat{α} + \hat{β} u$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \bar{v}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {(\bar{u})}^{2}}, \hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$

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18、已知四棱锥 $S - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 为矩形，其中 $A D = 2 A B = 2 A S = 4$ ，点 $S A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，点M，N分别在线段 $A B$ ， $S D$ 上（不含端点位置），其中 $\frac{A M}{A B} = \frac{D N}{D S}$ ，则四面体 $C B M N$ 的体积最大值为.

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19、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : 4$ ，则 $sin C =$ .

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20、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 4 x - x^{2}, x \geq 0, \\ 3^{- x} - 1, x < 0, \end{array}$ 其中 $f (a) = f (b) = f (c) = λ$ ，且 $a < b < c$ ，则（）

A、 $f [f (- 2)] = - 32$ B、函数 $g (x) = f (x) - f (λ)$ 有2个零点 C、 $a + b + c \in (4 + \log_{3} \frac{1}{5}, 4)$ D、 $a b c \in (- 4 \log_{3} 5, 0)$

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日期 $t$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
销售量 $y$ （万张）	1.93	1.95	1.97	1.98	2.01	2.02	2.02	2.05	2.07	0.5

$X$	2	3	4
$P$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$