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相关试卷

1、已知 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $0 < φ < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则（）

A、 $A = 2$ B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $f (x)$ 在 $(- \frac{5π}{12}, \frac{5π}{6})$ 内有3个极值点 D、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{11 π}{6}, 2 π]$ 上的最大值为 $\sqrt{3}$

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2、已知 $f (x) = \frac{e^{a x} - 1}{e^{x}} (a \neq 0)$ 是奇函数，则 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程是（）

A、 $y = 0$ B、 $y = x$ C、 $y = 2 x$ D、 $y = e x$

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3、将一枚均匀的骰子独立投掷两次，所得的点数依次记为x，y，记A事件为“ $C_{8}^{x}$ > $C_{8}^{y}$ ”，则 $P (A) =$ （）

A、 $\frac{11}{36}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{13}{36}$ D、 $\frac{5}{12}$

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4、某外来入侵植物生长迅速，繁殖能力强，大量繁殖会排挤本地植物，容易形成单一优势种群，导致原有植物种群的衰退甚至消失，使当地生态系统的物种多样性下降，从而破坏生态平衡.假如不加控制，它的总数量每经过一年就增长一倍.则该外来入侵植物由入侵的1株变成100万株大约需要（）（参考数据： $\lg 2 \approx 0.301$ ）

A、40年 B、30年 C、20年 D、10年

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5、某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）分配情况等数据，并将样本数据分成 $[0, 2], (2, 4]$ ， $(4, 6], (6, 8], (8, 10], (10, 12], (12, 14], (14, 16]$ ， $(16, 18]$ 九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在 $(12, 14], (14, 16], (16, 18]$ 三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在 $(14, 16]$ 内的学生人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和期望；

(2)、以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“ $P_{20} (k)$ ”表示这20名学生中恰有 $k$ 名学生参加公益劳动时间在 $(10, 12$ ]（单位：小时）内的概率，其中 $k = 0, 1, 2, \dots, 20$ .当 $P_{20} (k)$ 最大时，写出 $k$ 的值.

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6、按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布．下表是2017-2021年五年《中国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积的百分比 $(y_{i} %)$
年份
2017年
2018年
2019年
2020年
2021年
年份代码 $x_{i}$
1
2
3
4
5
$y_{i}$
6.4
5.5
5.0
4.8
3.8

(1)、请表示2017—2021年年份代码 $x_{i}$ 与 $y_{i}$ 的样本相关系数（精确到0.01），说明其相关性.

(2)、请用样本相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用一元线性回归模型进行描述，并求出y关于x的经验回归方程；并预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比．
（回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}, (\sum_{i \times 1}^{5} x_{i} y_{i} = 70.6, \sum_{i = 1}^{5} y_{i}^{2} = 133.69)$
附：样本相关系数， $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}, \sqrt{36.4} \approx 6$ ．

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7、根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效.
（1）如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为 $X$ ，求 $X$ 的概率分布及数学期望；
（2）如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率 $p$ ，并根据 $p$ 的值解释该试验方案的合理性.
（参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件）

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8、已知函数 $f (x) = e^{2 x} - 2 e x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{4}, 2]$ 上的最大值和最小值.

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9、甲、乙等5人参加A，B，C这三项活动，要求每人只参加一项活动，且每项活动至少有1人参加，若甲，乙不参加同一项活动，且只有1人参加A活动，则他们参加活动的不同方案有种.

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10、已知函数 $f (x) = x^{2023} - \sin x + e^{x} - \frac{1}{e^{x}}$ ，其中e是自然对数的底数，若 $f (a - 1) + f (2 a^{2}) \leq 0$ ，则实数a的取值范围是

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11、已知随机变量 $X \sim N (μ, σ^{2}), Y \sim B (6, p)$ ，且 $P (X \geq 3) = \frac{1}{2}, E (X) = E (Y)$ ，则 $p =$ ．

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12、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \in (0, + \infty)$ 时， $f (x) = x^{3} - 3 x - 2$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的极大值点为 $- 1$ B、函数 $y = f (x) - \sqrt{10}$ 的零点个数为3 C、函数 $y = f (f (x))$ 的零点个数为7 D、 $f (f (x)) > 0$ 的解集为 $(- 2, 0) \cup (2, + \infty)$

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13、下列说法正确的是（）

A、空间有 $10$ 个点，其中任何 $4$ 点不共面，以每 $4$ 个点为顶点作 $1$ 个四面体，则一共可以作 $210$ 个不同的四面体 B、甲､乙､丙 $3$ 个人值周，从周一到周六，每人值 $2$ 天，但甲不值周一，乙不值周六，则可以排出48种不同的值周表 C、从 $0, 1, 2, \dots, 9$ 这 $10$ 个数字中选出 $5$ 个不同的数字组成五位数，其中大于 $13000$ 的共有 $26544$ 个 D、 $4$ 个不同的小球放入编号为 $1, 2, 3, 4$ 的 $4$ 个盒子中，恰有 $1$ 个空盒的放法共有 $144$ 种

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14、函数 $f (x)$ 是定义在 $(- π, 0) \cup (0, π)$ 上的奇函数，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (\frac{π}{2}) = 0$ ，当 $0 < x < π$ 时， $f^{'} (x) \sin x - f (x) \cos x < 0$ ，则关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- \frac{π}{2}, 0) \cup (0, \frac{π}{2})$ B、 $(- \frac{π}{2}, 0) \cup (\frac{π}{2}, π)$ C、 $(- π, 0) \cup (0, \frac{π}{2})$ D、 $(- π, 0) \cup (\frac{π}{2}, π)$

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15、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{x - a} (a > 0)$ 在 $(1, 2)$ 上单调递减，则实数a的取值范围是（）

A、 $a \leq 1$ 或 $a \geq 2$ B、 $a \geq 2$ C、 $a \geq 2$ 或 $a = 1$ D、 $a \geq 1$

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16、2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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17、5G技术在我国已经进入调整发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：
时间x
1
2
3
4
5
销售量y（千只）
0.5
0.8
1.0
1.2
1.5
若x与y线性相关，且线性回归方程为 $y = 0.24 x + \hat{a}$ ，则下列说法不正确的是（）

A、当解释变量x每增加1个单位时，预报变量y平均增加0.24个单位 B、线性回归方程 $y = 0.24 x + \hat{a}$ 中 $\hat{a} = 0.26$ C、由题中数据可知，变量y与x正相关，且相关系数 $r < 1$ D、可以预测 $x = 6$ 时，该商场5G手机销量约为1.72（千只）

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18、某次数学联考成绩的数据分析，20000名考生成绩服从正态分布 $N (72, 8^{2})$ ，则80分以上的人数大约是（）

A、3173 B、6346 C、6827 D、13654

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19、 ${(\frac{1}{x} - \sqrt{x})}^{8}$ 的展开式中含 $x$ 项的系数为（）

A、24 B、28 C、20 D、32

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20、下列函数的求导运算中，错误的是（）

A、 $(x^{2} + 3 e^{x})^{'} = 2 x + 3 e^{x}$ B、 $(2 \sin x - 3)^{'} = 2 \cos x$ C、 $(\frac{\ln x}{x})^{'} = \frac{1 + \ln x}{x^{2}}$ D、 $(x \cos x)^{'} = \cos x - x \sin x$

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年份	2017年	2018年	2019年	2020年	2021年
年份代码 $x_{i}$	1	2	3	4	5
$y_{i}$	6.4	5.5	5.0	4.8	3.8

时间x	1	2	3	4	5
销售量y（千只）	0.5	0.8	1.0	1.2	1.5