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相关试卷

1、莫利定理，也称为莫雷角三分线定理，是由英国数学家法兰克·莫利于1899年左右发现的一个几何定理．该定理的内容如下：将任意三角形的三个内角三等分，则靠近某边的两条三分角线相交得到3个交点，这样的三个交点可以构成一个等边三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．如图，在等腰直角 $△ A B C$ 中， $|A B| = |A C|$ ， $|B C| = 8$ ， $△ D E F$ 是 $△ A B C$ 的莫利正三角形，则 $△ D E F$ 的边长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $4 - 2 \sqrt{3}$ C、 $8 - 4 \sqrt{3}$ D、 $16 - 8 \sqrt{3}$

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2、由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为 $30 °$ ，腰长为 $2$ ，如图，那么它在原平面图形中，顶点 $B'$ 到 $x$ 轴的距离是（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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3、用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（）

A、 $\frac{1}{10}$ ， $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{3}{10}$ ， $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{10}$ ， $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{3}{10}$ ， $\frac{2}{9}$

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4、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $E$ 、 $F$ 、 $G$ 分别为 $A_{1} B_{1}$ 、 $A A_{1}$ 、 $A D$ 的中点，则图中与直线 $D C_{1}$ 异面的直线是（）

A、 $E F$ B、 $A D_{1}$ C、 $B_{1} G$ D、 $B C_{1}$

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5、如图，棱锥 $P - A B C D$ 的高 $P O = 3$ ，截面 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 平行于底面 $A B C D, P O$ 与截面交于点 $O^{'}$ ，且 $O O^{'} = 2$ .若四边形 $A B C D$ 的面积为36，则四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的面积为（）

A、12 B、16 C、4 D、8

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6、点 $O$ 在 $△ A B C$ 的内部，且满足： $\vec{A O} = \frac{1}{5} \vec{A B} + \frac{2}{5} \vec{A C}$ ，则 $△ A B C$ 的面积与 $△ A O B$ 的面积之比是（）

A、 $\frac{7}{2}$ B、3 C、 $\frac{5}{2}$ D、2

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7、下列关于向量的描述正确的是（）

A、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 都是单位向量，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 都是单位向量，则 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ C、任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量 D、平面内起点相同的所有单位向量的终点共线

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8、已知O为坐标原点，对于函数 $f (x) = a sin x + b cos x$ ，称向量 $\vec{O M} = (a, b)$ 为函数 $f (x)$ 的相伴特征向量，同时称函数 $f (x)$ 为向量 $\vec{O M}$ 的相伴函数.

(1)、求 $g (x) = cos (x + \frac{π}{6}) - 2 cos (x + α) (α \in R)$ 的“相伴特征向量”；

(2)、已知 $A (- 2, 3)$ ， $B (2, 6)$ ， $\vec{O T} = (- \sqrt{3}, 1)$ 为 $h (x) = m sin (x - \frac{π}{6})$ 的相伴特征向量， $φ (x) = h (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ ，请问在 $y = φ (x)$ 的图象上是否存在一点P，使得 $\vec{A P} ⊥ \vec{B P}$ ，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由；

(3)、记向量 $\vec{O N} = (1, \sqrt{3})$ 的相伴函数为 $f (x)$ ，若当 $x \in [0, \frac{11 π}{12}]$ 时不等式 $f (x) + k f (x + \frac{π}{2}) > 0$ 恒成立，求实数k的取值范围.

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9、互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系.如果坐标系中两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为斜坐标系.如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴， $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则把有序数对 $(x, y)$ 叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标.

(1)、设 $\vec{O P} = 3 \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ ，求 $|\vec{O P}|$ ；

(2)、已知 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}, y_{2})$ ，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(3)、若 $\vec{m} = (2, 4)$ ， $\vec{n} = (- 6, 3)$ ， $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ 的夹角记为 $θ$ ，求 $θ$ 的余弦值.

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10、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ ， $P$ 分别是棱 $C D$ ， $D D_{1}$ ， $A A_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $P C //$ 平面 $A M N$ ；

(2)、求直线 $P M$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值.

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11、甲､乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲､乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为 $\frac{3}{4}$ ，乙每轮猜对的概率为 $\frac{2}{3}$ .在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.求

(1)、甲在两轮活动中恰好猜对一个成语的概率；

(2)、“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.

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12、在 $△ A B C$ 中，设角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对边的边长分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $\sqrt{3} c = \sqrt{3} b \cos A + a \sin B$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、当 $a = 2 \sqrt{2}$ ， $b = 2 \sqrt{3}$ 时，求边长 $c$ 和 $△ A B C$ 的面积 $S$ .

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13、已知边长为2的等边 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 的中点，以 $A D$ 为折痕进行折叠，使折后的 $∠ B D C = \frac{π}{2}$ ，则过 $A, B, C, D$ 四点的球的体积为.

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14、每年农历五月初五为端午节，又称端阳节；端午节是为了纪念楚国爱国诗人屈原而设立的传统节日.端午节对于中华民族的文化传承具有重要意义，也成为了中华文化与世界文化交流的窗口.更有吃粽子，赛龙舟，挂菖蒲､蒿草､艾叶，薰苍术､白芷，喝雄黄酒的习俗.2023年6月22日是我国的传统节日“端午节”.这天，楠楠的妈妈煮了9个粽子，其中4个腊肉馅，5个豆沙馅.楠楠想尝下粽子的味道，第一次尝了一个粽子觉得味道好吃，接着第二次又尝了一个粽子，则楠楠第一次和第二次尝的都是腊肉馅的概率为.

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15、已知 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 3$ ，且 $(2 \vec{a} - 3 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) = 61$ ，则 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ =$ ．

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16、已知事件A，B发生的概率分别为 $P (A) = 0.2$ ， $P (B) = 0.4$ ，则下列结论正确的有（）

A、若A与B互斥，则 $P (A + B) = 0.6$ B、若 $A \subseteq B$ ，则 $P (A B) = 0.4$ C、若 $P (A \bar{B}) = 0.12$ ，则A与B相互独立 D、若A与B相互独立，则 $P (A + B) = 0.52$

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17、为了解“全民齐参与城市更美丽”的志愿服务情况，随机抽取了100名志愿者进行问卷调查，将这100名志愿者问卷调查的得分按 $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 分成5组，并绘制出频率分布直方图，如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $a = 0.015$ B、估计这100名志愿者问卷调查得分的 $90 %$ 分位数为85 C、这100名志愿者问卷调查得分的平均数为75（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） D、若采用分层随机抽样从得分在 $[50, 60)$ ， $[90, 100]$ 内的志愿者中抽取8人，则抽取的这8名志愿者得分在 $[50, 60)$ 内的人数为6

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18、欧拉公式 $e^{i θ} = cos θ + isin θ$ 把自然对数的底数 $e$ ､虚数单位 $i$ ､三角函数联系在一起，被誉为“数学中的天桥”.若复数 $z$ 满足 $z \cdot e^{i \frac{π}{3}} = 2$ ，则 $|z - e^{i θ}|$ 的取值范围为（）

A、 $[1, 9]$ B、 $[1, 3]$ C、 $[1, 5]$ D、 $[3, 5]$

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19、已知 $△ A B C$ 的外接圆圆心为 $O$ ，且 $2 \vec{A O} = \vec{A B} + \vec{A C}$ ， $|\vec{A O}| = |\vec{A B}|$ ，则向量 $\vec{B A}$ 在向量 $\vec{B C}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{4} \vec{B C}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$ C、 $- \frac{1}{4} \vec{B C}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$

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20、设 $z_{1}$ 、 $z_{2}$ 为复数，下列命题一定成立的是（）

A、如果 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ ，那么 $z_{1} = z_{2} = 0$ B、如果 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，那么 $z_{1} = \pm z_{2}$ C、如果 $|z_{1}| \leq a$ ， $a$ 是正实数，那么 $- a \leq z_{1} \leq a$ D、如果 $z = \bar{z}$ ，那么 $z$ 为实数

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