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相关试卷

1、已知 $p : - 3 < k < 0, q$ ：不等式 $2 k x^{2} + k x - \frac{3}{8} < 0$ 的解集为 $R$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2、点 $F_{1} (- 2, 0), F_{2} (2, 0)$ 为等轴双曲线 $C$ 的焦点，过 $F_{2}$ 作 $x$ 轴的垂线与 $C$ 的两渐近线分别交于 $A ､ B$ 两点，则 $△ A O B$ 的面积为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、4 C、 $4 \sqrt{2}$ D、8

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3、若复数 $z = 3 - 4 i$ ，则 $|z \cdot i - \bar{z}| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、5 C、 $5 \sqrt{2}$ D、 $7 \sqrt{2}$

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4、如图，已知等腰梯形 $A B C D$ 中， $A D // B C$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} B C = 2$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点， $A E \cap B D = M$ ，将 $△ B A E$ 沿着 $A E$ 翻折成 $△ B_{1} A E$ ，使平面 $B_{1} A E ⊥$ 平面 $A E C D$ .
(1)求证： $C D ⊥$ 平面 $B_{1} D M$ ；
(2)求 $B_{1} E$ 与平面 $B_{1} M D$ 所成的角；
(3)在线段 $B_{1} C$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $M P //$ 平面 $B_{1} A D$ ，若存在，求出 $\frac{B_{1} P}{B_{1} C}$ 的值；若不存在，说明理由.

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5、2021年底某市城市公园主体建设基本完成，为了解市民对该项目的满意度，从该市随机抽取若干市民对该项目进行评分（满分100分），根据所得数据，按 $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 进行分组，绘制了如图所示的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值，并估计该市市民评分的 $60 %$ 分位数；

(2)、为进一步完善公园建设，按分层随机抽样的方法从评分在 $[60, 80)$ 中抽取7人，再随机抽取其中2人进行座谈，求这2人的评分在同一组的概率.

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6、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 3, 4)$ .
（1）求 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角；
（2）若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + λ \vec{b})$ ，求实数 $λ$ 的值.

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7、已知正方形 $A B C D$ 的边长为2， $O$ 为对角线的交点，动点 $M$ 在线段 $A D$ 上，点 $M$ 关于点 $O$ 的对称点为点 $N$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{A N}$ 的最大值为．

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8、已知某圆锥的侧面积为 $\sqrt{5} π$ ，该圆锥侧面的展开图是弧长为 $2 π$ 的扇形，则该圆锥的体积为.

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9、 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $S$ 为 $△ A B C$ 的面积，且 $a = 2$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2 \sqrt{3} S$ ，下列选项正确的是（）

A、 $A = \frac{π}{3}$ B、若 $b = 3$ ，则 $△ A B C$ 有两解 C、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $b$ 取值范围是 $(2 \sqrt{3}, 4)$ D、若 $D$ 为 $B C$ 边上的中点，则 $A D$ 的最大值为 $2 + \sqrt{3}$

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10、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $O$ 为底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心，点 $E$ 是正方形 $A B B_{1} A_{1}$ 内（含边界）一个动点，则下列结论正确的是（）

A、 $B O ⊥ A C$ B、点 $E$ 存在无数个位置满足 $O E ∥$ 平面 $A C D_{1}$ C、直线 $C C_{1}$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、三棱锥 $A - E C D_{1}$ 体积的最大值为 $\frac{1}{3}$

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11、我国居民收入与经济同步增长，人民生活水平显著提高.“三农”工作重心从脱贫攻坚转向全面推进乡村振兴，稳步实施乡村建设行动，为实现农村富强目标而努力.2017年~2021年某市城镇居民､农村居民年人均可支配收入比上年增长率如下图所示.根据下面图表，下列说法一定正确的是（）

A、该市农村居民年人均可支配收入高于城镇居民 B、对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的极差，城镇比农村的大 C、对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的中位数，农村比城镇的大 D、2021年该市城镇居民､农村居民年人均可支配收入比2020年有所上升

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12、已知正三棱柱的底面边长为 $4 \sqrt{3}$ ，高为6，经过上底面棱的中点与下底面的顶点截去该三棱柱的三个角，如图1，得到一个几何体，如图2所示，若所得几何体的六个顶点都在球 $O$ 的球面上，则球 $O$ 的体积为（）

A、 $80 π$ B、 $\frac{4 \sqrt{5}}{3} π$ C、 $\frac{80 \sqrt{5}}{3} π$ D、 $\frac{160 \sqrt{5}}{3} π$

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13、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $△ A B C$ 的面积 $S_{△ A B C} = \sqrt{3}$ ， $S_{△ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{4} (a^{2} + c^{2} - b^{2})$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $- 2$

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14、若 $O$ 是 $△ A B C$ 所在平面内的一点，且满足 $|\vec{O B} - \vec{O C}| = |\vec{O B} + \vec{O C} - 2 \vec{O A}|$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（　　）

A、等边三角形 B、等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、直角三角形

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15、在 $Δ A B C$ 中， $\frac{c - a}{2 c} = {s i n}^{2} \frac{B}{2} (a 、 b 、 c$ 分别为角 $A 、 B 、 C$ 的对边)，则 $Δ A B C$ 的形状为

A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形或直角三角形 D、等腰直角三角形

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16、已知一个直三棱柱的高为1，如图，其底面 $△ A B C$ 水平放置的直观图（斜二测画法）为 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，其中 $O^{'} A^{'} = O^{'} B^{'} = O^{'} C^{'} = 1$ ，则该三棱柱的表面积为（）

A、 $6 + 2 \sqrt{2}$ B、 $6 + 4 \sqrt{2}$ C、 $6 + 2 \sqrt{5}$ D、 $6 + 4 \sqrt{5}$

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17、某中学的高中部共有男生1200人，其中高一年级有男生300人，高二年级有男生400人．现按分层抽样抽出36名男生去参加体能测试，则高三年级被抽到的男生人数为（）

A、9 B、12 C、15 D、18

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18、已知i是虚数单位，复数z= $\frac{2 i}{1 - i}$ ，则复数z的虚部为（）

A、i B、-i C、1 D、-1

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19、已知函数 $f (x) = x^{2} + (x - 2) |x - a|$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对任意的 $x_{1}, x_{2} \in [0, 3]$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 1$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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20、已知函数 $f (x) = \sin (x + \frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{3} - x)$ ， $x \in R$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后，得到 $y = g (x)$ 的图象，求 $y = g (x)$ 的单调递增区间．

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