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相关试卷

1、已知集合 $A = {x| (x - 3) (x + 1) > 0}$ ， $B = \{x| |x - 1| > 1\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $[- 1, 0) \cup (2, 3]$ B、 $(2, 3]$ C、 $(- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$ D、 $(- 1, 0) \cup (2, 3)$

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2、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，顶点在原点 $O$ 的抛物线 $E$ 经过点 $A (9, 6)$ .

(1)、求抛物线 $E$ 的方程；

(2)、若抛物线 $E$ 不经过第二象限，且经过点 $B (0, 3)$ 的直线 $l$ 交抛物线 $E$ 于 $M$ ， $N$ ，两点（ $|B M| < |B N|$ ），过 $M$ 作 $x$ 轴的垂线交线段 $O A$ 于点 $P$ .
①当 $M P$ 经过抛物线 $E$ 的焦点 $F$ 时，求直线 $N P$ 的方程；
②求点A到直线 $N P$ 的距离的最大值.

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3、在一个密闭不透明的箱子中有五个浅色球，其中一个球的标号为1，另一个密闭不透明的箱子中有五个深色球，其中两个球的标号为2，3.

(1)、若在两个箱子中各抽取两个球，求抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率；

(2)、若在两个箱子中共随机抽取四个球，记其中浅色球的个数为X，求X的分布列.

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4、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D / / B C, M$ 为 $B P$ 的中点， $A M / /$ 平面 $C D P$ ．

(1)、求证： $B C = 2 A D$ ；

(2)、若 $P A ⊥ A B, A B = A P = A D = C D = 1$ ， $∠ C B M = ∠ C P M$ ．
（i）求证： $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ；
（ii）设平面 $C D P \cap$ 平面 $B A P = l$ ，求二面角 $C - l - B$ 的正弦值．

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5、某工厂去年12月试产了1000个电子产品，产品合格率为0.85.从今年1月开始，工厂在接下来的一年中将生产这款产品，1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高 $10 %$ ，产品合格率比前一个月增加0.01.

(1)、求今年2月生产的不合格产品的数量，并判断哪个月生产的不合格产品的数量最多；

(2)、求该工厂今年全年生产的合格产品的数量.
参考数据： ${1.1}^{11} \approx 2.85$ ， ${1.1}^{12} \approx 3.14$ .

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6、函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在一个周期内的图象如图所示， $A$ 为图象的最高点， $B$ 、 $C$ 为图象与 $x$ 轴的交点，且 $△ A B C$ 为正三角形．

(1)、求 $ω$ 的值；

(2)、若 $f (x_{0}) = \frac{3 \sqrt{3}}{5}$ ，且 $x_{0} \in (0, 1)$ ，求 $f (x_{0} - \frac{1}{2})$ 的值；

(3)、求关于 $x$ 的方程 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 在 $[0, 2024]$ 上的最大根与最小根之和.

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7、省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇 $.$ 永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥 $.$ 当石拱桥拱顶离水面 $1.6 m$ 时，水面宽 $6.4 m$ ，当水面下降 $0.9 m$ 时，水面的宽度为米 $.$

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8、若曲线 $y = e^{x + m} + n$ 的切线为 $y = x - 1$ ，则一组满足条件的 $m + n$ 的取值为．

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9、若 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，满足对任意 $x, y \in R$ ，都有 $f (x) + f (y) = - f (\frac{x + y}{2}) f (\frac{x - y}{2})$ ，且 $f (2) = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (x)$ 为偶函数 C、 $f (x + 1)$ 为奇函数 D、 $\sum_{i = 1}^{2024} f (i) = 0$

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10、 $△ A B C$ 中，D为AB上一点且满足 $\vec{A D} = 3 \vec{D B}$ ．若P为线段CD上一点，且 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ （ $λ, μ$ 为正实数），则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{C D} = \frac{1}{4} \vec{C A} + \frac{3}{4} \vec{C B}$ B、 $4 λ + 3 μ = 2$ C、 $λ μ$ 的最大值为 $\frac{1}{12}$ D、 $\frac{1}{λ} + \frac{1}{3 μ}$ 的最小值为3

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11、已知 ${(2 x + \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式共有13项，则下列说法正确的有（）

A、所有奇数项的二项式系数和为 $2^{11}$ B、二项式系数最大的项为第7项 C、所有项的系数和为 $3^{13}$ D、有理项共有5项

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12、在正四棱锥 $S - A B C D$ 中， $E$ 是线段 $A B$ 上的动点．设直线 $S E$ 与直线 $B C$ 所成的角为 $α$ ，二面角 $S - A B - C$ 为 $β$ ，直线 $S E$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $γ$ ，这三个角的关系正确的是（）

A、 $α \leq β \leq γ$ B、 $α \leq γ \leq β$ C、 $γ \leq α \leq β$ D、 $γ \leq β \leq α$

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13、设 $F_{1}, F_{2}$ 分别为椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点， $P$ 为椭圆上一点，直线 $F_{1} P$ 与以 $F_{2}$ 为圆心、 $O F_{2}$ 为半径的圆切于点 $Q (O$ 为坐标原点 $)$ ，且 $\vec{F_{1} Q} = 3 \vec{Q P}$ ，则椭圆 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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14、现某酒店要从3名男厨师和2名女厨师中选出两人，分别做调料师和营养师，则至少有1名女厨师被选中的不同选法有（）

A、14种 B、18种 C、12种 D、7种

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15、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点F的坐标为 $(2, 0)$ ，以线段FP为直径的圆与圆 $O : x^{2} + y^{2} = 3$ 相切，则动点P的轨迹方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{3}}{3} = 1$

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16、石墨烯是一种由单层碳原子构成的具有平面网状结构的物质，其结构如图所示，其中每个六边形的顶点是一个碳原子的所处位置.现令六边形 $A$ 为中心六边形，其外围紧邻的每个六边形构成“第一圆环”，“第一圆环”外围紧邻的六边形构成“第二圆环”，以此类推.则“第七圆环”上的碳原子数为（）

A、42 B、120 C、168 D、210

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17、已知向量 $\vec{a} = (m, 1), \vec{b} = (1, 2)$ ，且 $| \vec{a} + \vec{b} |^{2} = | \vec{a} |^{2} + | \vec{b} |^{2}$ ，则 $m$ 的值为（）

A、1 B、2 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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18、已知复数 $z$ 满足 $(z + 1) i = z$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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19、能正确表示图中阴影部分的是（）

A、 $∁_{(A \cup B)} (A \cap B)$ B、 $∁_{U} A \cap B$ C、 $∁_{U} B \cap A$ D、 $∁_{(A \cap B)} (A \cup B)$

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20、若 $y = f (x)$ 为 $D = [a, b]$ 上的非负图像连续的函数，点 $a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n - 1} < x_{n} = b$ 将区间 $D$ 划分为 $n$ 个长度为 $Δ x_{i}$ 的小区间 $D_{i} = [x_{i - 1}, x_{i}] (i = 1, 2, \dots, n)$ ．记 $λ = max \{Δ x_{i}\}$ ，若无穷和的极限 $\lim_{λ \to 0} (\sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ x_{i})$ 存在 $(\forall ξ_{i} \in D_{i})$ ，并称其为区域 $S$ 的精确面积，记为 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ ．

(1)、若有导函数 ${[F (x)]}^{'} = f (x)$ ，则 $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ ．求由直线 $x = 1, x = 100, y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ 以及轴所围成封闭图形面积；

(2)、若区间 $D$ 被等分为 $n$ 个小区间，请推证： $\lim_{n \to \infty} [\sum_{i = 1}^{n} f (a + \frac{b - a}{n} i) \cdot \frac{b - a}{n}] = \int_{a}^{b} f (x) d x$ ．并由此计算无穷和极限 $\lim_{n \to \infty} \frac{1^{2024} + 2^{2024} + \dots + n^{2024}}{n^{2025}}$ 的值；

(3)、求有限项和式 $1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{100}}$ 的整数部分．

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