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相关试卷

1、一场文艺汇演中共有2个小品节目､2个歌唱类节目和3个舞蹈类节目，若要求2个小品类节目演出顺序不相邻且不在第一个表演，则不同的演出顺序共有（）

A、480种 B、1200种 C、2400种 D、5040种

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2、褐马鸡，属于马鸡的一种，是中国特产珍稀的鸟类.若甲是一只鸟，则“甲是马鸡”是“甲是褐马鸡”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、2023年5月15日至21日是第二个全国家庭教育宣传周，为进一步促进家校共育，某校举行“家教伴成长，协同育新人”主题活动，最终评出了8位“最美家长”，其中有6位妈妈，2位爸爸，学校准备从这8位“最美家长”中每次随机选出一人做家庭教育经验分享．

(1)、若每位“最美家长”最多做一次家庭教育经验分享，记第一次抽到妈妈为事件A，第二次抽到爸爸为事件B，求 $P (A)$ 和 $P (B)$ ；

(2)、现需要每天从这8位“最美家长”中随机选1人，连续4天分别为低年级、中年级、高年级和全体教师各做1场经验分享，1天只做1场，且人选可以重复，记这4天中爸爸做经验分享的天数为X，求X的分布列和数学期望．

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4、已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{a}{2} x^{2} + 1 (a \in R)$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设函数 $f (x)$ 有两个不同的零点 $x_{1}, x_{2}$ ，
（i）求实数 $a$ 的取值范围：
（ⅱ）若 $x_{1}, x_{2}$ 满足 $| \ln x_{1} - \ln x_{2} | \geq \frac{\ln 2}{2}$ ，求实数 $a$ 的最大值.

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5、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是正方形， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P D = A B$ ， $E$ 为 $P B$ 的中点.

(1)、证明： $D E ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $F$ 为 $A B$ 的中点，求二面角 $B - C E - F$ 的大小.

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6、为建设“书香校园”，学校图书馆对所有学生开放图书借阅，可借阅的图书分为“期刊杂志”与“文献书籍”两类，已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为 $\frac{1}{3}$ ，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为 $\frac{3}{5}$ ．

(1)、求小明同学在两次借阅过程中恰有一次借阅“期刊杂志”的概率；

(2)、求小明同学在两次借阅过程中，第二次借阅的是“文献书籍”的概率．

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7、春夏之交因昼夜温差大，细菌、病毒等活跃，是流感高发季节．某校高二年级某组团统计了流感暴发前的半个月与流感暴发后的半个月的学生请假情况，得到如下数据：

因发烧请假
非发烧请假
合计
流感暴发前
10

30
流感暴发后
30

合计

70

(1)、完成 $2 \times 2$ 列联表，并依据 $α = 0.001$ 的独立性检验，判断能否认为流感暴发对请假的同学中发烧的人数有影响．

(2)、后经过了解，在全校因发烧请假的同学中男生占比为 $40 %$ ，且 $20 %$ 的因发烧请假的男生需要输液治疗， $30 %$ 的因发烧请假的女生需要输液治疗．学校随机选择一名因发烧请假在医院输液的同学进行慰问，求这名同学是女生的概率．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．
$α$
0.05
0.01
0.001
$x_{a}$
3.841
6.635
10.828

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8、如图所示，在四棱锥P-ABCD中，若平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD，侧面PAD是边长为 $2 \sqrt{6}$ 的正三角形，底面ABCD是矩形， $C D = 2 \sqrt{3}$ ，点Q是PD的中点，则下列结论中正确的是．（填序号）
① $C Q ⊥$ 平面PAD；②PC与平面AQC所成角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ；
③三棱锥B-ACQ的体积为 $6 \sqrt{2}$ ；④四棱锥Q-ABCD外接球的内接正四面体的表面积为 $24 \sqrt{3}$ ．

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9、已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线交 $C$ 于A，B两点，A，B中点 $D$ 在 $x$ 轴上方且其横坐标为1， $|A B| = 3$ ，则直线 $A B$ 的斜率为.

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10、设函数 $f (x) = ln x$ ，且 $x_{0}, x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，下列命题：其中正确的命题是（）

A、若 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $\frac{1}{x_{2}} > \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}$ ； B、存在 $x_{0} \in (x_{1}, x_{2})$ ， $x_{1} < x_{2}$ ，使得 $\frac{1}{x_{0}} = \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}$ ； C、若 $x_{1} > 1$ ， $x_{2} > 1$ ，则 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 1$ ； D、对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，都有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) > \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ .

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11、已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 如图所示，其中 $A B = B C = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ， $∠ B A D = ∠ A_{1} A D$ $= ∠ B A A_{1} = 60 °$ ，线段AC，BD交于点O，点E是线段 $A A_{1}$ 上靠近 $A_{1}$ 的三等分点，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{E O} = - \frac{2}{3} \vec{A A_{1}} + \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ B、 $\vec{E C_{1}} = \frac{1}{3} \vec{A A_{1}} + \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ C、 $| \vec{E O} | = 3$ D、 $\vec{E C_{1}} \cdot \vec{A A_{1}} = 9$

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12、若 $a = \frac{ln 2}{ln 3}$ ， $b = ln 3 - ln 2$ ， $c = \frac{\sqrt{6}}{6}$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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13、已知点 $P (3, a)$ ，若圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 上存在点 $A$ ，使得线段 $P A$ 的中点也在圆 $O$ 上，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 3 \sqrt{3}, 3 \sqrt{3})$ B、 $[- 3 \sqrt{3}, 3 \sqrt{3}]$ C、 $(- \infty, - 3 \sqrt{3}) \cup (3 \sqrt{3}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 3 \sqrt{3}] \cup [3 \sqrt{3}, + \infty)$

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14、若函数 $f (x) = t \ln x - |\ln x - \frac{1}{x}|$ 恰有两个零点，则实数t的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1 - e) \cup (0, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1 - e) \cup (0, 1)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(- \infty, - 1 - e) \cup (1, + \infty)$

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15、剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形 $A B C D$ 的边长为 $2$ ，点 $P$ 在四段圆弧上运动，则 $\vec{A P} \cdot \vec{A B}$ 的取值范围为（）

A、 $[- 1, 3]$ B、 $[- 2, 6]$ C、 $[- 3, 9]$ D、 $[- 3, 6]$

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16、如果定义在R上的函数 $f (x)$ 满足：对于任意 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $x_{1} f (x_{1}) + x_{2} f (x_{2}) > x_{1} f (x_{2}) + x_{2} f (x_{1})$
，则称 $f (x)$ 为“ $H$ 函数”．给出下列函数：① $y = - x^{3} + x + 1$ ；② $y = 3 x - 2 (\sin x - \cos x)$ ；③ $y = e^{x} + 1$ ；④ $f (x) = \{\begin{cases} \ln |x|, x \neq 0 \\ 0, x = 0 \end{cases}$ ，其中“ $H$ 函数”的个数是

A、4 B、3 C、2 D、1

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17、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，E，F，G分别为 $A A_{1}$ ， AB， $C C_{1}$ 的中点，则直线ED与FG所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{6}$ D、 $\frac{2}{5}$

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是由正数组成的等比数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和.已知 $a_{2} a_{4} = 16, S_{3} = 7$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、15 B、17 C、31 D、33

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19、函数 $y = x \ln x$ 在 $(0, 5)$ 上的单调性是（）．

A、单调递增 B、单调递减 C、在 $(0, \frac{1}{e})$ 上单调递减，在 $(\frac{1}{e}, 5)$ 上单调递增 D、在 $(0, \frac{1}{e})$ 上单调递增，在 $(\frac{1}{e}, 5)$ 上单调递减

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20、某企业的设备控制系统由 $2 k - 1 (k \in N^{*})$ 个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为 $p (0 < p < 1)$ ，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为 $p_{k}$ （例如： $p_{2}$ 表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率； $p_{3}$ 表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）．

(1)、若 $k = 2$ ，且每个元件正常工作的概率 $p = \frac{2}{3}$ ．
①求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和期望；
②在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率．

(2)、请用 $p_{k}$ 表示 $p_{k + 1}$ ，并探究：在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，能否通过增加控制系统中元件的个数来提高设备正常运行的概率．

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	因发烧请假	非发烧请假	合计
流感暴发前	10		30
流感暴发后	30
合计			70

$α$	0.05	0.01	0.001
$x_{a}$	3.841	6.635	10.828