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相关试卷

1、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且满足 $f (x) + f (y) = f (x + y) - 2 x y + 2, f (1) = 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (4) = 12$ B、方程 $f (x) = x$ 有解 C、 $f (x + \frac{1}{2})$ 是偶函数 D、 $f (x - \frac{1}{2})$ 是偶函数

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2、将函数 $g (x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{12})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数 $h (x)$ 的图象，若 $f (x)$ 与 $h (x)$ 的图象关于 $x$ 轴对称，则 $f (x)$ 的一个单调递增区间为（）

A、 $(- \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4})$ B、 $(- \frac{3 π}{4}, \frac{π}{4})$ C、 $(\frac{π}{4}, \frac{5 π}{4})$ D、 $(\frac{3 π}{4}, \frac{7 π}{4})$

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3、已知圆锥的母线为 $\sqrt{5}$ ，侧面展开所成扇形的圆心角为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5} π$ ，则此圆锥体积为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $π$ D、 $\frac{4 π}{3}$

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4、已知集合 $M = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ， $N = \{x |\frac{x + 2}{x - 2} \geq 0\}$ ， $M \cap N =$ （）

A、 $\{- 2, - 1, 0, 1\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{- 2\}$ D $\{- 2, 2\}$

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5、已知有穷数列 $A_{n} : a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $\dots$ ， $a_{n} (n \in N^{*}$ ， $n ⩾ 2)$ 满足 $a_{1} = a_{n} = 0$ ，且当 $2 ⩽ k ⩽ n (k \in N *)$ 时， ${(a_{k} - a_{k - 1})}^{2} = 1$ ，令 $S (A_{n}) = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ ．
（1）写出 $S (A_{5})$ 所有可能的值；
（2）求证： $n$ 一定为奇数；
（3）是否存在数列 $A_{n}$ ，使得 $S (A_{n}) = \frac{{(n - 3)}^{2}}{4}$ ？若存在，求出数列 $A_{n}$ ；若不存在，说明理由．．

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6、已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的准线与圆O： $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切．

(1)、求C的方程；

(2)、设点P是C上的一点，点A，B是C的准线上两个不同的点，且圆O是 $△ P A B$ 的内切圆．
①若 $|A B| = 2 \sqrt{5}$ ，求点P的横坐标；
②求 $△ P A B$ 面积的最小值．

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7、设函数 $f (x) = a^{x} + e^{- x} (a > 1)$ .
（1）求证： $f (x)$ 有极值点；
（2）设 $f (x)$ 的极值点为 $x_{0}$ ，若对任意正整数a都有 $x_{0} \in (m, n)$ ，其中 $m, n \in Z$ ，求 $n - m$ 的最小值.

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8、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, A = B + 3 C$ .
（1）求 $\sin C$ 的取值范围；
（2）若 $c = 6 b$ ，求 $\sin C$ 的值.

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9、5G技术对社会和国家十分重要．从战略地位来看，业界一般将其定义为继蒸汽机革命、电气革命和计算机革命后的第四次工业革命．某科技集团生产A，B两种5G通信基站核心部件，下表统计了该科技集团近几年来在A部件上的研发投入 $x$ （亿元）与收益y（亿元）的数据，结果如下：
研发投入x（亿元）
1
2
3
4
5
收益y（亿元）
3
7
9
10
11

(1)、利用样本相关系数r说明是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系（当 $|r| \in [0.75, 1]$ 时，可以认为两个变量有很强的线性相关性）；

(2)、求出y关于x的经验回归方程，并利用该方程回答下列问题：
①若要使生产A部件的收益不低于15亿元，估计至少需要投入多少研发资金？（精确到0.001亿元）
②该科技集团计划用10亿元对A，B两种部件进行投资，对B部件投资 $x (1 \leq x \leq 6)$ 元所获得的收益y近似满足 $y = 0.9 x - \frac{4}{x^{2}} + 3.7$ ，则该科技集团针对A，B两种部件各应投入多少研发资金，能使所获得的总收益P最大．
附：样本相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，
回归直线方程的斜率 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ，截距 $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

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10、某校高二年级共有10个班级，5位教学教师，每位教师教两个班级，其中姜老师一定教1班，张老师一定教3班，王老师一定教8班，秋老师至少教9班和10班中的一个班，曲老师不教2班和6班，王老师不教5班，则不同的排课方法种数．

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11、已知点 $M$ 为圆 $O^{'} : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 上的动点，过圆心作直线 $l$ 垂直于 $x$ 轴交点为 $A$ ，点 $B$ 为 $A$ 关于 $y$ 轴的对称轴，动点 $N$ 满足到点 $B$ 与 $l$ 到的距离始终相等，记动点 $N$ 到 $y$ 轴距离为 $m$ ，则 $m + |M N|$ 的最小值为．

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12、函数 $f (x) = \{\begin{cases} \log_{\frac{1}{3}} x, x \geq 1 \\ 3^{x}, x < 1 \end{cases}$ 的值域为．

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13、球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球 $O$ 的半径为R，A，B， $C$ 为球面上三点，劣弧BC的弧长记为 $a$ ，设 $O_{a}$ 表示以 $O$ 为圆心，且过B，C的圆，同理，圆 $O_{b}, O_{c}$ 的劣弧 $A C, A B$ 的弧长分别记为 $b, c$ ，曲面 $A B C$ （阴影部分）叫做曲面三角形， $a = b = c$ ，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面 $△ A B C$ 围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面 $O - A B C$ ．设 $∠ B O C = α, ∠ A O C = β, ∠ A O B =$ $γ$ ，则下列结论正确的是（）

A、若平面 $△ A B C$ 是面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4} R^{2}$ 的等边三角形，则 $a = b = c = R$ B、若 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ，则 $α^{2} + β^{2} = γ^{2}$ C、若 $a = b = c = \frac{π}{3} R$ ，则球面 $O - A B C$ 的体积 $V > \frac{\sqrt{2}}{12} R^{3}$ D、若平面 $△ A B C$ 为直角三角形，且 $∠ A C B = \frac{π}{2}$ ，则 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ ，则（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列 B、数列 $\{\log_{2} (a_{n} + 1)\}$ 是等差数列 C、数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $2^{n + 1} - n - 2$ D、 $a_{20}$ 能被3整除

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15、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0< φ < π)$ 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $A = 2$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{6}, 0)$ 对称 C、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，所得函数为偶函数 D、若 $f (\frac{α}{4}) = \frac{2}{3}$ ，则 $\cos (α - \frac{2 π}{3}) = - \frac{7}{9}$

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16、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0)$ ，点 $P$ 在 $y$ 轴上，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心坐标为 $(0, \frac{\sqrt{3} c}{3})$ ，若线段 $P F_{1}$ 上靠近点 $P$ 的三等分点 $Q$ 恰好在 $C$ 上，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $1 + \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{7} - 2$ C、 $2 + \sqrt{7}$ D、 $11 + 4 \sqrt{7}$

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17、平面向量 $\overset{⇀}{a}$ 与向量 $\overset{⇀}{b}$ 满足 $\overset{⇀}{a} \cdot (\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}) = 3$ ，且 $|\overset{⇀}{a}| = 2$ ， $|\overset{⇀}{b}| = 1$ ，则向量 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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18、已知 $a$ ， $b$ 是两条不重合的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个不重合的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $a ∥ α$ ， $β ∥ α$ ，则 $a ∥ β$ B、若 $α ⊥ β$ ， $a ⊥ β$ ，则 $a ∥ α$ C、若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α ∥ β$ D、若 $a ∥ α$ ， $b ⊥ α$ ，则 $a ⊥ b$

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19、 ${(2 x + 3)}^{4}$ 的展开式中， $x$ 的系数为（）

A、96 B、144 C、180 D、216

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20、已知复数 $z = \frac{1 + 2 i}{1 - i^{2025}} - 3 i$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$

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研发投入x（亿元）	1	2	3	4	5
收益y（亿元）	3	7	9	10	11