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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x - 2 \sqrt{3} {cos}^{2} x$ ，则下列结论中正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的对称轴为 $x = \frac{π}{3} + \frac{k π}{2}$ ， $k \in Z$ C、 $f (x)$ 的对称中心为 $(\frac{π}{3} + \frac{k π}{2}, 0)$ ， $k \in Z$ D、 $f (x)$ 的单调递增区间为 $[- \frac{π}{12} + k π, \frac{5π}{12} + k π]$ ， $k \in Z$

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2、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \cos^{2} 2 x + 2 \sin 2 x \cos 2 x - \sqrt{3}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (\frac{π}{8}) = 1$ B、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{8}, \frac{π}{12}]$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 的值域为 $[- 2, 2]$ D、 $f (x - \frac{π}{12})$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{8}$ 对称

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3、已知定义域为R的函数 $f (x)= \frac{− 2^{x} + b}{2^{x} + a}$ 是奇函数．

(1)、求a，b的值．

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并用定义证明．

(3)、当 $x ∈[1,3]$ 时， $f (k x^{2}) + f (2 x −1)>0$ 恒成立，求实数k的取值范围．

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4、某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据：
不达标
达标
合计
男
300
女
100
300
合计
450
600

(1)、完成 $2 \times 2$ 列联表，根据显著性水平 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关？

(2)、若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为 $\frac{4}{5}$ ，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为 $\frac{2}{5}$ ，用上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，现从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，求其体能测试合格的概率；

(3)、在（2）的条件下，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试，求3人中体能测试合格的人数X的分布、数学期望及方差．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $P (χ^{2} \geq 3.841) \approx 0.05$ ．

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5、立德中学高中数学创新小组开展一项数学实验（1）给出两块相同的边长都为8cm的正三角形薄铁片（如图1、图2），其中图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥；图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形（阴影部分）每个四边形中有且只有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器．

(1)、试求图1剪拼的正三棱锥体积的大小；

(2)、设正三棱柱底面边长为x，将正三棱柱形容器的容积V表示为关于x的函数，并标明其定义域，并求其最值．

(3)、如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请仿照图2设计剪拼方案，用虚线标示在图3中，并作简要说明．

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6、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，直线 $C_{1} B ⊥$ 平面 $A B C$ ，平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ .

(1)、求证： $A C ⊥ B B_{1}$ ；

(2)、若 $A C = B C = B C_{1} = 2$ ，在棱 $A_{1} B_{1}$ 上是否存在一点 $P$ ，使得四棱锥 $P - B C C_{1} B_{1}$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ ？若存在，指出点 $P$ 的位置；若不存在，请说明理由.

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7、已知复数 $z = \frac{a + 3 i}{i}$ $(a \in R, i$ 为虚数单位)，则“ $a > 0$ ”是“ $z$ 在复平面内对应的点位于第四象限”的（）条件

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分又不必要条件

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8、在四面体 $A B C D$ 中，且 $A B = C D = \sqrt{7}, A C = B D = 3, A D = B C = \sqrt{10}$ ，点 $P, Q$ 分别是线段 $A D$ ， $B C$ 的中点，若直线 $P Q ⊥$ 平面 $α$ ，且 $α$ 截四面体 $A B C D$ 形成的截面为平面区域 $Ω$ ，则 $Ω$ 的面积的最大值为.

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9、下列化简正确的是（）

A、 $\sin 45 ° \cos 45 ° = 1$ B、 $\cos^{2} \frac{π}{12} - \sin^{2} \frac{π}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2} \sin 40 ° + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 40 ° = \sin 80 °$ D、 $\frac{\tan 22.5 °}{1 - \tan^{2} 22.5 °} = \frac{1}{2}$

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10、复数 $z = \frac{3}{1 + i}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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11、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = \sqrt{3}$ ， $A C = \sqrt{2}$ ， $∠ A C B = 60 °$ ，点D在边BC的延长线上.

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $C D = 2 \sqrt{2}$ ， $\vec{A E} = \frac{2}{3} \vec{A D}$ ，求CE的长.

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12、某地家庭有甲、乙、丙三位小孩，他们是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为 $\frac{1}{8}$ ，甲、丙都需要照顾的概率为 $\frac{1}{10}$ ，乙、丙都需要照顾的概率为 $\frac{1}{20}$ .

(1)、分别求甲、乙、丙在这一小时内需要照顾的概率；

(2)、求这一小时内至少有两位小孩需要照顾的概率.

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13、如图，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直， $∠ A D E = 90 °$ ， $A F / / D E$ ， $D E = D A = 2 A F = 4$ .

(1)、求证：平面ACE⊥平面BDE；

(2)、求四面体BAEF的体积.

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14、流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒的繁殖和传播.科学测定，当空气相对湿度大于65%或小于40%时，病毒繁殖滋生较快，当空气相对湿度在45%~55%时，病毒死亡较快.现随机抽取了全国部分城市，获得了它们的空气月平均相对湿度共300个数据，整理得到数据分组及频数分布表，其中为了记录方便，将空气相对湿度在a%~b%时记为区间 $[a, b)$ .
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
分组
$[15, 25)$
$[25, 35)$
$[3, 45)$
$[45, 55)$
$[55, 6)$
$[65, 75)$
$[75, 85)$
$[85, 95)$
频数
2
3
15
30
30
75
120
5

(1)、求上述数据中空气相对湿度使病毒死亡较快的频率；

(2)、从区间 $[15, 35)$ 的数据中任取两个数据，求两个数据都位于 $[25, 35)$ 内的概率.

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15、已知向量 $\vec{a} = (3, 2)$ ， $\vec{b} = (x, - 1)$ .

(1)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求实数x的值；

(2)、若 $\vec{c} = (- 10, 2)$ ， $\vec{b} ∥ \vec{c}$ ，求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ .

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16、某圆锥的侧面展开图是面积为 $3 π$ ，圆心角为 $\frac{3 π}{4}$ 的扇形，则该圆锥的底面半径为.

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17、某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示.这100名学生中参加实践活动时间在4~10小时内的人数为.

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18、设A、B、C为三个随机事件，其中A与B是互斥事件，B与C互为对立事件， $P (A) = \frac{1}{4}$ ， $P (C) = \frac{1}{3}$ ，则 $P (A \cup B) =$ .

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19、下列命题正确的是（）

A、若向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $\vec{a} = \vec{0}$ 或 $\vec{b} = \vec{0}$ B、若向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ，则向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 的夹角为钝角 C、若 $\vec{a} = (3, 4)$ ， $\vec{b} = (0, 1)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $(0, 4)$ D、设 $\vec{e_{1}}$ 、 $\vec{e_{2}}$ 是同一平面内两个不共线的向量，若 $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ，则 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 可作为该平面的一个基底

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20、已知 $i$ 是虚数单位，复数 $z = m^{2} - 4 + m i - 3 m i^{4}$ 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 $m$ 的取值可以是（）

A、0 B、1 C、3 D、5

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组号	1	2	3	4	5	6	7	8
分组	$[15, 25)$	$[25, 35)$	$[3, 45)$	$[45, 55)$	$[55, 6)$	$[65, 75)$	$[75, 85)$	$[85, 95)$
频数	2	3	15	30	30	75	120	5

	不达标	达标	合计
男			300
女	100		300
合计		450	600