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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， m)$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 1$ B、4 C、1 D、 $- 4$

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2、已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径， $∠ A P B = 120 °$ ， $P A = 2$ ，点C在底面圆周上，且二面角 $P - A C - O$ 为45°，则（）．

A、该圆锥的体积为 $π$ B、该圆锥的侧面积为 $4 \sqrt{3} π$ C、 $A C = 2 \sqrt{2}$ D、 $△ P A C$ 的面积为 $\sqrt{3}$

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3、已知函数 $f (x) = \frac{2 ln x + a}{x}, a \in R$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求函数 $f (x)$ 极值；

(2)、讨论 $f (x)$ 在区间 $[1, e]$ 上单调性；

(3)、若 $f (x) \leq x e^{x} + \frac{1}{x} - 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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4、甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为 $\frac{4}{5}$ ，乙答对题目的概率为P，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为 $\frac{3}{5}$ .记甲乙两人的答题总次数为 $n (n \geq 2)$ .

(1)、求P；

(2)、当 $n = 2$ 时，求甲得分X的分布列及数学期望；

(3)、若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为 $P_{n} (A)$ ，证明： $\frac{4}{15} \leq P_{2} (A) + P_{3} (A) + \dots + P_{n} (A) < \frac{2}{3}$ .

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5、某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750 $m^{2}$ 的矩形花园.图中阴影部分是宽度为 $1 m$ 的小路，中间 $A, B, C$ 三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中 $B, C$ 区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为 $x m$ ，鲜花种植的总面积为 $S m^{2}$ .

(1)、用含有 $x$ 的代数式表示 $a$ ，并写出 $x$ 的取值范围；

(2)、当 $x$ 的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？

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6、为深入推进传统制造业改造提升，依靠创新引领产业升级，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位：nm）．

(1)、现有旧设备生产的零件有10个，其中直径大于10nm的有2个．现从这10个零件中随机抽取3个．记 $ξ$ 表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求 $ξ$ 的分布列及数学期望 $E (ξ)$ ；

(2)、技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为 $\frac{3}{4}$ ，每个零件是否合格相互独立．现任取4个零件进行检测，若合格的零件数 $η$ 超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及 $η$ 的方差；

(3)、若技术攻坚后新设备生产的零件直径 $X \sim N (10, 0.04)$ ，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于10.4nm的概率．
参考数据：若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (|X - μ| \leq σ) \approx 0.6827$ ， $P (|X - μ| \leq 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (|X - μ| \leq 3 σ) \approx 0.9973$ ， ${0.97725}^{10} \approx 0.7944$ ， ${0.9545}^{10} \approx 0.6277$ ．

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7、已知集合 $A = \{x |x^{2} - x - 6 > 0\}$ ， $B = \{x |lg x < 1\}$ .

(1)、求 $(∁_{R} A) \cup B$ ；

(2)、设集合 $C = \{x |a - 1 < x < 2 a - 3\}$ ，若 $A \cup C = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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8、已知不等式 $a x - \ln x + \frac{x}{e^{a x}} > 1$ 恒成立，则实数a的取值范围是.

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9、设函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，且 $\forall x \in R$ ，都有 $f (x) - f (2 - x) = 0$ .当 $x \in (0, 1]$ 时， $f (x) = ln x + 2 x - 1$ ，则函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{2}, \frac{9}{2}]$ 上有个零点.

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10、已知 ${(2 x - 1)}^{2024} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{2024} x^{2024}$ ，则 $2 a_{1} + 3 a_{2} + 4 a_{3} + \cdot \cdot \cdot + 2025 a_{2024} =$ .

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11、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} \log_{2} x, x > 0 \\ {(\frac{1}{4})}^{x - 1}, x \leq 0 \end{cases}$ ，则 $f (f (\frac{\sqrt{2}}{2})) =$ .

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12、在探究 ${(a + b)}^{n}$ 的展开式的二项式系数性质时，我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律，我们称这个表为杨辉三角（如图1），小明在学完杨辉三角之后进行类比探究，将 ${(1 + x + x^{2})}^{n}$ 的展开式按x的升幂排列，将各项系数列表如下（如图2）：
上表图2中第n行的第m个数用 $D_{n}^{m - 1}$ 表示，即 ${(1 + x + x^{2})}^{n}$ 展开式中 $x^{m}$ 的系数为 $D_{n}^{m}$ ，则（）

A、 $D_{5}^{3} = 15$ B、 $D_{n}^{2} = \frac{n (n + 1)}{2}$ C、 $D_{n + 1}^{k + 1} = D_{n}^{k - 1} + D_{n}^{k} + D_{n}^{k + 1} (1 \leq k \leq 2 n - 1, k \in N^{*})$ D、 $D_{2024}^{0} C_{2024}^{0} - D_{2024}^{1} C_{2024}^{1} + D_{2024}^{2} C_{2024}^{2} - D_{2024}^{3} C_{2024}^{3} + \dots + D_{2024}^{2024} C_{2024}^{2024} = 0$

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13、函数 $f (x) = [x]$ 称为取整函数，也称高斯函数，其中 $[x]$ 表示不大于实数 $x$ 的最大整数，例如： $[- 3.5]= - 4 ，[2.1] = 2$ ，则下列命题正确的是（）

A、函数 $f (x) = [x]$ 为偶函数 B、函数 $y = x - [x] (x \in R)$ 的值域为 $[0, 1)$ C、若 $[x] = 2$ ，则 $x + \frac{1}{2 (x - 1)}$ 的最小值为 $\frac{5}{2}$ D、不等式 ${[x]}^{2} - [x] \leq 2$ 的解集为 ${x ∣ - 1 \leq x < 3}$

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14、有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用 $x$ 表示第一次取到的小球的标号，用 $y$ 表示第二次取到的小球的标号，记事件 $A$ ： $x + y$ 为偶数， $B$ ： $x y$ 为偶数，C： $x > 2$ ，则（）

A、 $P (B) = \frac{3}{4}$ B、 $A$ 与 $B$ 相互独立 C、 $A$ 与 $C$ 相互独立 D、 $B$ 与 $C$ 相互独立

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15、已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ ， $g (x)$ ，其导函数分别为 $f^{'} (x)$ ， $g^{'} (x)$ ，且 $g^{'} (x) - \frac{g (x)}{x} < x f^{'} (x)$ ，则必有（）

A、 $2 g (1) + 2 f (2) > g (2) + 2 f (1)$ B、 $2 g (1) + 2 f (2) < g (2) + 2 f (1)$ C、 $4 f (2) + 2 g (1) > g (2) + 4 f (1)$ D、 $4 f (2) + 2 g (1) < g (2) + 4 f (1)$

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16、中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室温 $25^{\circ} C$ 下，某种绿茶用 $85^{\circ} C$ 的水泡制，经过 $x min$ 后茶水的温度为 $y^{\circ} C$ ，且 $y = k \cdot {0.9227}^{x} + 25 (x \geq 0, k \in R)$ .当茶水温度降至 $60^{\circ} C$ 时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（）
（参考数据： $ln 2 \approx 0.69, ln 3 \approx 1.10, ln 7 \approx 1.95, ln 0.9227 \approx - 0.08$ ）

A、 $6 min$ B、 $7 min$ C、8min D、 $9 min$

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17、已知 $a > 1$ ， $b > 1$ .设p： $a^{b} = b^{a}$ ， q： $a e^{b} = b e^{a}$ ，则p是q的（）条件.

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分又不必要

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18、一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离 $s (m)$ 与时间 $t (s)$ 之间的函数关系式为 $s = sin 2 t + t$ ，则 $t = 2$ 时，此木块在水平方向的瞬时速度为（）

A、 $(1 + 2 cos 4) m / s$ B、 $2 cos 4 m / s$ C、 $(2 + cos 4) m / s$ D、 $cos 4 m / s$

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19、某电视台计划在五一期间某段时间连续播放5个广告，其中2个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个必须是公益广告，且商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有（）种.

A、144 B、72 C、64 D、36

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20、若 $a \in N$ ，且 $50^{2024} + a$ 能被17整除，则 $a$ 的最小值为（）

A、0 B、1 C、15 D、16

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