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相关试卷

1、在 ${(x + \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数是（）

A、 $15$ B、 $60$ C、 $6$ D、 $12$

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2、要安排5位同学表演文艺节目的顺序，要求甲同学既不能第一个出场，也不能最后一个出场，则不同的安排方法共有（）

A、 $72$ 种 B、 $120$ 种 C、 $96$ 种 D、 $60$ 种

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3、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} = - 3$ ， $S_{5} = - 10$ ，使 $S_{n}$ 最小的 $n$ 的值为（）

A、4 B、5 C、6 D、4或5

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4、如图 ①、②、③、④ 分别为不同样本数据的散点图，其对应的线性相关系数分别为 $r_{1}, r_{2}, r_{3}, r_{4}$ ，则 $r_{1}, r_{2}, r_{3}, r_{4}$ 中最大的是（）

A、 $r_{1}$ B、 $r_{2}$ C、 $r_{3}$ D、 $r_{4}$

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5、函数 $y = f (x)$ 的图象如图所示，则（）

A、 $f^{'} (1) > f^{'} (3)$ B、 $f^{'} (1) = f^{'} (3)$ C、 $f^{'} (1) < f^{'} (3)$ D、 $f^{'} (1) + f^{'} (3) > 0$

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6、已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = - 2 a_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $4$ C、 $- 3$ D、 $- 8$

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7、在由 $n \times n (n \geq 2)$ 个实数组成的 $n$ 行 $n$ 列的数表中， $a_{i j}$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列的数（如图是一个3行3列的数表， $a_{11} = 0, a_{23} = 9$ ），记 $r_{i} = a_{i 1} + a_{i 2} + \dots + a_{i n} (1 \leq i \leq n), c_{j} = a_{1 j} + a_{2 j} + \dots + a_{n j} (1 \leq j \leq n)$ .若满足 $a_{i j} \in \{- 1, 0, 1\} (1 \leq i, j \leq n)$ ，且 $r_{1}, r_{2}, \dots, r_{n}, c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}$ 两两不等，则称此表为“ $n$ 阶 $H$ 表”.记 $H_{n} = \{r_{1}, r_{2}, \dots, r_{n}, c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}\}$ .
0
3
2
1
2
9
3
4
1

(1)、请写出一个“2阶 $H$ 表”；

(2)、对任意一个“ $n$ 阶 $H$ 表”，若整数 $λ \in [- n, n]$ ，且 $λ \notin H_{n}$ ，求证： $λ$ 为偶数；

(3)、求证：不存在“5阶 $H$ 表”.

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8、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D ⊥$ 平面 $A B P, B C$ ∥ $A D, ∠ P A B = 90^{\circ}, P A = A B = 2, A D = 3, B C = m, E$ 是 $P B$ 的中点.

(1)、证明： $A E ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若二面角 $C - A E - D$ 的余弦值是 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $m$ 的值；

(3)、若 $m = 2$ ，在线段 $E D$ 上是否存在一点 $F$ ，使得 $B F ⊥ C E$ ？若存在，求 $\frac{|D F|}{|F E|}$ 的值；若不存在，说明理由.

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9、已知函数 $f (x) = {cos}^{2} ω x + 2 sin ω x cos ω x - {sin}^{2} ω x (0 < ω < 4)$ ，且_____．
从以下 $① ② ③$ 三个条件中任选一个，补充在上面条件中，并回答问题： $①$ 过点 $(\frac{π}{8}, \sqrt{2}); ②$ 函数 $f (x)$ 图象与直线 $y + \sqrt{2} = 0$ 的两个相邻交点之间的距离为 $π; ③$ 函数 $f (x)$ 图象中相邻的两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、设函数 $g (x) = 2 cos (2 x - \frac{π}{3})$ ，则是否存在实数 $m$ ，使得对于任意 $x_{1} \in [0, \frac{π}{2}]$ ，存在 $x_{2} \in [0, \frac{π}{2}]$ ， $m = g (x_{2}) - f (x_{1})$ 成立 $?$ 若存在，求实数 $m$ 的取值范围 $;$ 若不存在，请说明理由．

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10、在 $△ A B C$ 中， $b sin A + a cos (A + C) = 0$ .

(1)、求 $∠ B$ 的大小；

(2)、再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得 $△ A B C$ 存在且唯一，求 $△ A B C$ 的面积.
条件①： $b = \sqrt{2}$ ；条件②： $A B$ 边上的高为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ；条件③： $cos A = - \frac{1}{2}$ .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

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11、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B C D$ 是正方形， $P D ⊥$ 平面 $A B C D, P D = A B$ ， $E, F, G$ 分别是 $P C, P D, B C$ 的中点.

(1)、求证： $P C ⊥ A D$ ；

(2)、求证： $P A$ $∥$ 平面 $E F G$ .

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12、已知 $\sin (π - α) = 2 \cos α$ ．

(1)、若 $α$ 为锐角，求 $\cos (α + \frac{π}{3})$ 的值；

(2)、求 $\tan (2 α - \frac{π}{4})$ 的值．

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13、写出一个同时满足下列两个条件的函数 $f (x) =$ .
① $\forall x \in R, f (x + \frac{π}{2}) = - f (x)$ ；
② $\forall x \in R, f (x) \geq f (\frac{π}{8})$ 恒成立.

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14、在△ $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，若 $\sin A = \sqrt{3} \sin C$ ， $B = 30^{\circ}$ ， $b = 2$ ，则△ $A B C$ 的面积是．

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15、复数 $1 - 2 i$ 与复数 $3 - i$ 在复平面内对应的点分别为 $A, B$ ，若 $O$ 为坐标原点，则 $∠ A O B$ 的大小为.

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16、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2), \vec{b} = (m, 1)$ ，若向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 垂直，则 $m =$ .

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17、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A C \cap B D = O$ ， E是线段 $B_{1} C$ （含端点）上的一动点，
① $O E ⊥ B D_{1}$ ；
② $O E //$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ ；
③三棱锥 $A_{1} - B D E$ 的体积为定值；
④ $O E$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成的最大角为 $90 °$ .
上述命题中正确的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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18、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示， $D (5, 0) ， B (2, A) ，$ $\vec{B C} \cdot \vec{C D} = 0$ ，则（）

A、 $f (x) = 2 \sqrt{10} sin (\frac{π}{6} x + \frac{π}{6})$ B、 $f (x) = 2 \sqrt{10} sin (\frac{π}{3} x + \frac{π}{6})$ C、 $f (x) = \sqrt{10} sin (\frac{π}{6} x - \frac{π}{6})$ D、 $f (x) = 2 \sqrt{10} sin (\frac{π}{6} x + \frac{π}{3})$

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19、若单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - \frac{1}{2}$ ， $\vec{b} \cdot \vec{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{c} =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、0或 $- \frac{1}{2}$ D、0或 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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20、已知 $f (x) = |\tan (x + φ)|$ ，则“函数 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称”是“ $φ = k π (k \in Z)$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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