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相关试卷

1、已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是正三角形， $D$ 是棱 $A B$ 的中点， $A B = A A_{1} = 2$ ， $A_{1} D = \sqrt{5}$ ， $A_{1} C = 2 \sqrt{2}$ ， $H$ 是棱 $C C_{1}$ 上的动点， $E$ ， $F$ 是棱 $A_{1} B_{1}$ 上的动点，且 $E F = 1$ ，则（）

A、 $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ B、 $A_{1} D ⊥ C D$ C、该三棱柱的外接球的体积为 $\frac{32 π}{3}$ D、三棱锥 $D - E F H$ 的体积恒为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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2、已知函数 $f (x) = sin x cos (x + \frac{π}{3})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最大值与最小值之差为1 B、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{6})$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6}, - \frac{\sqrt{3}}{4})$ 中心对称 D、若将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到 $g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 是偶函数

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3、已知复数 $z$ 满足 $z i^{7} + 2 \bar{z} = 3 + 3 i$ ，则（）

A、 $z = 3 + 3 i$ B、 $|z| = 3 \sqrt{2}$ C、 $z$ 在复平面内对应的点位于第四象限 D、 $z^{2}$ 是纯虚数

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4、若当 $x \in [0, 2 π]$ 时，函数 $y = sin \frac{x}{2}$ 与 $y = 2 sin (ω x - \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的图象有且仅有4个交点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{9}{8}, \frac{13}{8})$ B、 $(\frac{9}{8}, \frac{13}{8}]$ C、 $[\frac{13}{8}, \frac{17}{8})$ D、 $(\frac{13}{8}, \frac{17}{8})$

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5、已知 $a = {(\frac{1}{3})}^{\frac{2}{3}} + 2 {log}_{5} 2$ ， $b = {log}_{2} 3$ ， $c = \frac{{(\sqrt{3})}^{3}}{\sqrt{2} \times \sqrt{6}}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $b > a > c$ D、 $c > b > a$

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6、已知在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 3$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $- 3 \sqrt{15} cos B$ ，则 $A C =$ （）

A、 $2$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{15}$ D、 $4$

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7、在 $△ A B C$ 中， $\vec{D C} = 3 \vec{B D}$ ， $P$ 为线段 $A D$ 的中点，若 $\vec{B P} = λ \vec{B A} + μ \vec{B C}$ ，则 $\frac{1}{λ} + \frac{1}{μ}$ 的值为（）

A、 $6$ B、 $8$ C、 $10$ D、 $12$

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} {log}_{a} x, x \geq 1 \\ - x^{2} + a x - 3, x < 1 \end{array}$ ，则“ $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增”的充要条件是（）

A、 $2 \leq a \leq 3$ B、 $2 \leq a \leq 4$ C、 $1 < a \leq 4$ D、 $a \geq 2$

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9、已知圆柱的轴截面为正方形，表面积为 $6 π$ ，则其体积为（）

A、 $2 π$ B、 $\frac{3 π}{2}$ C、 $3 π$ D、 $4 π$

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10、已知集合 $A = \{x |\log_{3} (1 - x) < 1\}$ ， $B = [- 1, 2)$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $[- 1, 1)$ B、 $(- 2, + \infty)$ C、 $[- 1, 2)$ D、 $(- 2, 2)$

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11、样本数据 $1, 3, 5, 1, 9, 5, 6, 11, 8$ 的中位数是（）

A、5 B、5.5 C、6 D、7

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12、材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数（包括重复因式）就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理：
代数基本定理：任何一元 $n (n \in N^{*})$ 次复系数多项式方程 $f (x) = 0$ 至少有一个复数根.
材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元 $n (n \in N^{*})$ 次复系数多项式 $f (x)$ 在复数集中可以分解为 $n$ 个一次因式的乘积.进而，一元 $n$ 次多项式方程有 $n$ 个复数根（重根按重数计）.
下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系.
设实系数一元二次方程 $a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0 (a_{2} \neq 0)$
在复数集 $C$ 内的根为 $x_{1} ､ x_{2}$ ，容易得到 $\{\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} = - \frac{a_{1}}{a_{2}} \\ x_{1} x_{2} = \frac{a_{0}}{a_{2}} \end{array}$
设实系数一一元三次方程 $a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0 (a_{3} \neq 0)$ ①
在复数集 $C$ 内的根为 $x_{1} ､ x_{2} ､ x_{3}$ ，可以得到，方程①可变形为 $a_{3} (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3}) = 0$
展开得： $a_{3} x^{3} - a_{3} (x_{1} + x_{2} + x_{3}) x^{2} + a_{3} (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3}) x - a_{3} x_{1} x_{2} x_{3} = 0$ ②
比较①②可以得到根与系数之间的关系：
$\{\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{a_{2}}{a_{3}} \\ x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = \frac{a_{1}}{a_{3}} \\ x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{a_{0}}{a_{3}} \end{array}$
阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题：

(1)、对于方程 $3 x^{3} + 2 x^{2} - x + 5 = 0$ 在复数集 $C$ 内的根为 $x_{1} ､ x_{2} ､ x_{3}$ ，求 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}$ 的值；

(2)、如果实系数一元四次方程 $a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0 (a_{4} \neq 0)$ 在复数集 $C$ 内的根为 $x_{1} ､ x_{2} ､ x_{3} ､ x_{4}$ ，试找到根与系数之间的关系；

(3)、已知函数 $g (x) = x^{3} + b x + 2$ ，对于方程 $g (x) = k$ 在复数集 $C$ 内的根为 $x_{1} ､ x_{2} ､ x_{3}$ ，当 $k \in [0, 1]$ 时，求 $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3}$ 的最大值.

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13、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $P D ⊥$ 平面 $A B C D, E$ 为 $P D$ 的中点.

(1)、设平面 $A B E$ 与直线 $P C$ 相交于点 $F$ ，求证： $E F$ $∥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $A B = 2 \sqrt{3}, ∠ D A B = 60^{\circ}, P D = 2 \sqrt{6}$ ，求直线 $B E$ 与平面 $P A D$ 所成角的大小.

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14、根据央视网消息显示，贵州省文旅厅网站5月1日公布《2023年“五一”假期前三天全省文化旅游情况》，其中显示，假期前三天，根据抽样调查结果，全省接待游客2038.26万人次（用2038万计算），较2022年假日同期增长 $41.9 %$ （用 $42 %$ 计算），恢复到2019年假日同期水平的 $104.6 %$ （用 $105 %$ 计算）.某大学旅游管理专业的学生陈枫为了了解“ $M$ 红色旅游景区”的游客对景区历史文化背景的知晓情况，随机抽选了若干名游客进行问卷调查，根据问卷得分，统计如下：
得分
$[80, 84)$
$[84, 88)$
$[88, 92)$
$[92, 96)$
$[96, 100]$
频率
0.10
0.20
0.40
0.20
0.10

(1)、求2022年和2019年“五一”假期前三天全省接待游客人次（单位：万），精确到0.01.

(2)、根据表格估计“ $M$ 红色旅游景区”的游客对景区历史文化背景知晓情况问卷得分的平均水平（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

(3)、陈枫为了答谢游客的参与，在问卷得分为 $[92, 96) ､ [96, 100]$ 的游客中按 $1 : 2$ 的比例抽选6人作为景区“幸运游客”，景区在“幸运游客”中随机选取两人评为“五星游客”，求得分为 $[92, 96)$ ､ $[96, 100]$ 的游客中各有一人评为“五星游客”的概率.

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15、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b = \sqrt{2}, c = \sqrt{5}, cos C = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求 $sin B$ 的值；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积.

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16、在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $A B$ 上，且 $A D = \frac{1}{3} A B$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\vec{C D}$ ；

(2)、若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 0$ 且 $A B = 3, A C = 2$ ，求 $|\vec{C D}|$ .

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17、豌豆是自花传粉､闭花受粉的植物，在自然条件下只能进行自交.踠豆叶子黄色（ $Y$ ）相对绿色（ $y$ ）为完全显性，即： $YY ､ Yy$ 都表现为黄色， $yy$ 表现为绿色.现有遗传因子组成为 $YY$ 和 $yy$ 的亲本植株杂交，子一代植株的遗传因子为 $Yy$ .令子一代植株自交，获得的子二代植株遗传因子组成有三种类型： $YY ､ Yy ､ yy$ .据此回答下列问题：
（1）通过子一代植株自交后，获得的子二代植株的叶子颜色是绿色的概率为.
（2）若随机选择一株子二代植株进行自交，获得的子三代植株的叶子颜色是绿色的概率为.

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18、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $A, B, C$ ，若 $c = 2$ ，且 $\sin^{2} A - \sin A \sin B = \cos^{2} B - \cos^{2} C$ ，则 $△ A B C$ 周长的最大值为.

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19、有一个底面边长分别为 $3, 4, 5$ 的直三棱柱，如果该三棱柱存在内切球，即该球与三棱柱的各个面都相切.则该三棱柱的体积为.

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20、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2, |\vec{a} + \vec{b}| = 2 \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ .

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得分	$[80, 84)$	$[84, 88)$	$[88, 92)$	$[92, 96)$	$[96, 100]$
频率	0.10	0.20	0.40	0.20	0.10