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相关试卷

1、对于分别定义在 $D_{1}, D_{2}$ 上的函数 $f (x), g (x)$ 以及实数 $k$ ，若任取 $x_{1} \in D_{1}$ ，存在 $x_{2} \in D_{2}$ ，使得 $f (x_{1}) + g (x_{2}) = k$ ，则称函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 具有关系 $M (k)$ .其中 $x_{2}$ 称为 $x_{1}$ 的像.

(1)、若 $f (x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{3}), x \in R; g (x) = 3 cos (3 x + \frac{π}{6}), x \in R$ ，判断 $f (x)$ 与 $g (x)$ 是否具有关系 $M (- 6)$ ，并说明理由；

(2)、若 $f (x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{3}), x \in [0, \frac{π}{3}]; g (x) = 3 \sqrt{3} cos (3 x + \frac{π}{6}), x \in [0, π]$ ，且 $f (x)$ 与 $g (x)$ 具有关系 $M (\frac{5 \sqrt{3}}{2})$ ，求 $x_{1} = \frac{π}{6}$ 的像.

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2、已知在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A B$ ，点 $D$ 为 $A A_{1}$ 的中点，点 $E$ 在 $C C_{1}$ 的延长线上，且 $C_{1} E = \frac{1}{3} C E$ .

(1)、证明： $A C_{1} //$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求二面角 $B - D E - C$ 的正切值.

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3、智能手机的出现，改变了我们的生活，同时也占用了我们大量的学习时间.某市教育机构从 $500$ 名手机使用者中随机抽取 $100$ 名，得到每天使用手机时间(单位：分钟)的频率分布直方图(如图所示)，其分组是： $[0, 20], (20, 40]$ ， $(40, 60], (60, 80], (80, 100]$ .
（1）根据频率分布直方图，估计这 $500$ 名手机使用者中使用时间的中位数是多少分钟? (精确到整数)
（2）估计手机使用者平均每天使用手机多少分钟? (同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
（3）在抽取的 $100$ 名手机使用者中在 $(20, 40]$ 和 $(40, 60]$ 中按比例分别抽取 $2$ 人和 $3$ 人组成研究小组，然后再从研究小组中选出 $2$ 名组长.求这 $2$ 名组长分别选自 $(20, 40]$ 和 $(40, 60]$ 的概率是多少？

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4、已知 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中， $a = 8$ ， $\tan A = 2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的外接圆半径；

(2)、求 $△ A B C$ 周长的最大值．

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5、（1）求 $\frac{\sqrt{1 - 2 \sin 40 ° \cos 40 °}}{\sqrt{1 - \sin^{2} 50 °} + \cos 140 °}$ 的值；
（2）已知 $\tan θ = 2$ ，求 $\sin^{2} θ + \sin θ \cos θ$ 的值．

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6、对定义在非空集合 $I$ 上的函数 $f (x)$ ，以及函数 $g (x) = k x + b (k, b \in R)$ ，俄国数学家切比雪夫将函数 $y = |f (x) - g (x)|, x \in I$ 的最大值称为函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的“偏差”.若 $f (x) = x^{2}, x \in [- 1, 1]$ ， $g (x) = x + 1$ ，则函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的“偏差”为.

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7、已知球 $O$ 的表面积为 $16 π$ ，球心 $O$ 到球内一点 $P$ 的距离为1，则过点 $P$ 的截面的面积的最小值为．

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8、计算 ${(\frac{27}{8})}^{- \frac{2}{3}} + π^{\lg 1} + \log_{2} \frac{2}{3} - \log_{4} \frac{16}{9} =$ ．

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9、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 满足 $f (x) = g (x + 1) + 1$ ，且 $f (1 - x) + g (x + 1) = 1$ ，若 $f (x + 1)$ 为偶函数，则（）

A、 $f (4) = f (- 2)$ B、 $g (\frac{3}{2}) = 0$ C、 $g (1 - x) = g (1 + x)$ D、 $f (x)$ 的图象关于原点对称

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10、如图，在三棱锥P-ABC中， $P A ⊥$ 平面 $A B C, A B ⊥ B C, P A = A B, D 为 P B$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、 $B C ⊥$ 平面 $P A B$ B、 $A D ⊥ P C$ C、 $A D ⊥$ 平面 $P B C$ D、 $P B ⊥$ 平面 $A D C$

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11、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (2 - x) = f (x)$ ，且当 $x_{2} > x_{1} \geq 1$ 时，恒有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < 0$ ，则不等式 $f (x - 1) > f (2 x + 1)$ 的解集为（）

A、 $(- 2, 0)$ B、 $(- 2, \frac{2}{3})$ C、 $(- \infty, - 2) \cup (\frac{2}{3}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 2) \cup (0, + \infty)$

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12、如图，圆锥的母线长为4，点M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B点，这条绳子的长度最短值为 $2 \sqrt{5}$ ，则此圆锥的表面积为（）

A、 $4 π$ B、 $5 π$ C、 $6 π$ D、 $8 π$

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13、在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ．若 $a + c \cos A = b + c \cos B$ ，则 $△ A B C$ 为（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形

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14、若 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (- 1, 3)$ ，则 $cos ⟨\vec{a}, \vec{a} - \vec{b}⟩ =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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15、随着老龄化时代的到来，某社区为了探讨社区养老模式，在社区内对2400名老年人、2400名中年人、2100名青年人用分层抽样方法随机发放了调查问卷345份，则在老年人中发放的调查问卷份数是（）

A、110 B、115 C、120 D、125

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16、已知 $\sin α = \frac{4}{5}$ ，则 $\cos (\frac{7 π}{2} - α) =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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17、已知集合 $M = \{0, 1, 2\}, N = \{- 2, 0, 1\}$ ，则（）

A、 $M \cap N = \{0\}$ B、 $M \cup N = M$ C、 $\{0\} \subseteq M \cap N$ D、 $M \cup N \subseteq \{0, 1\}$

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18、已知 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $y = f (x), x \in [0, π]$ 的单调递减区间；

(3)、若 $x \in [- \frac{π}{2}, 0]$ 时，函数 $y = f (x) + m$ 有两个零点 $x_{1} ､ x_{2}$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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19、如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是菱形， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D, A B = 1$ ， $A A_{1} = 2, ∠ B A D = 60^{\circ}$ ，点 $P$ 为 $D D_{1}$ 的中点.

(1)、求证：直线 $B D_{1} / /$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求异面直线 $B D_{1}$ 与 $A C$ 所成的角；

(3)、求二面角 $B_{1} - A C - P$ 的余弦值.

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20、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .满足 $(2 a - c) cos B = b cos C$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、设 $a = 4, b = 2 \sqrt{7}$ .
（i）求 $c$ 的值；
（ii）求 $sin 2 C$ 的值.

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