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相关试卷

1、如图所示，已知在三棱锥 $A - B C D$ 中，二面角 $A - B D - C$ 为直二面角， $B C ⊥ C D$ ， $B C = C D = \sqrt{3}$ ， $A B = A D = \sqrt{2}$ ，若三棱锥 $A - B C D$ 的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）

A、 $\frac{8 \sqrt{2} π}{3}$ B、 $8 π$ C、 $\frac{2 \sqrt{2} π}{3}$ D、 $2 \sqrt{2} π$

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2、已知函数 $f (x) = - \cos 3 x$ 和 $g (x) = \sin (x - \frac{π}{6})$ ，则这两个函数图象在 $x \in [0, 2 π]$ 的交点个数为（）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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3、如图所示，在三棱锥 $S - A B C$ 中， $S A ⊥$ 平面 $A B C$ ，且 $△ A B C$ 是边长为 $1$ 的正三角形，若 $S A = B C$ ，则点 $A$ 到平面 $S B C$ 的距离为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ C、 $\frac{3 \sqrt{7}}{7}$ D、 $\frac{3 \sqrt{21}}{7}$

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4、已知两条不同的直线 $m, n$ ，三个不同的平面 $α, β, γ$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $m / / n$ ， $n \subset α$ ，则 $m / / α$ B、若 $α / / β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m / / n$ C、若 $m ⊥ γ$ ， $n ⊥ γ$ ，则 $m / / n$ D、若 $α ⊥ β$ ， $γ ⊥ β$ ，则 $α / / γ$

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5、如图所示，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = \sqrt{3} A B$ ，则异面直线 $A_{1} B$ 与 $B_{1} C_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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6、在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $B C = 2$ ，以该矩形的边 $A D$ 所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的空间几何体的表面积为（）

A、 $3 π$ B、 $4 π$ C、 $5 π$ D、 $6 π$

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7、如图，四边形 $O A B C$ 在斜二测画法下得到平行四边形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ ， $O^{'} A^{'} = 2$ ， $O^{'} C^{'} = 1$ ，则该四边形 $O A B C$ 的周长为（）

A、 $2$ B、 $4$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $8$

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8、已知 $P (x, y)$ 在曲线 $C$ ： $\sqrt{x^{2} + y^{2} - 2 x + 1} + \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 x + 1} = 4$ 上，直线 $y = k x$ 交曲线 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点．

(1)、当 $P$ 不在直线 $A B$ 上时，试问 $k_{P A} \cdot k_{P B}$ ( $k_{P A}$ ， $k_{P B}$ 分别为 $P A$ ， $P B$ 的斜率)是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由．

(2)、若 $O$ 为坐标原点， $O P ⊥ A B$ ，求 $△ P A B$ 面积的最小值．

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9、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $P$ 为 $B C_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $B C ⊥ P A_{1}$ ；

(2)、若 $A A_{1} = 2$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ，求直线 $A B_{1}$ 与平面 $P A_{1} C_{1}$ 所成角的正弦值．

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10、已知数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 满足 $a_{n} + b_{n} = 2 n + 1$ ， $a_{n} b_{n} = 2^{- n}$ ，数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = \frac{1}{a_{n}} + \frac{1}{b_{n}}$ ．

(1)、判断数列 $\{c_{n}\}$ 的单调性；

(2)、求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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11、党的二十大报告提出：“全方位夯实粮食安全根基，牢牢守住十八亿亩耕地红线，确保中国人的饭碗牢牢端在自己手中.”粮食事关国运民生，粮食安全是“国之大者”，与社会和谐、政治稳定、经济持续发展等息息相关，粮稳则天下安.现有某品种杂交水稻，从中随机抽取15株作为样本进行观测，并记录每株水稻的生长周期(单位：天)，按从小到大排序结果如下：
93 97 98 101 103 104 107 108 109 110 112 116 121 124 126
已知这组样本数据的 $10 %$ 分位数、 $80 %$ 分位数分别为 $a, b$ .

(1)、求 $a, b$ ；

(2)、在某科研任务中，把该品种所有生长周期位于区间 $(a, b)$ 的稻株记为“高产稻株”，其余记为“低产稻株”.现从该品种水稻中随机抽取3株，设其中高产稻株有 $X$ 株，求 $X$ 的分布列与数学期望（以样本中高产稻株的频率作为该品种水稻的一株稻株属于高产稻株的概率）.

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12、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，直线 $l$ 经过点 $F$ 交 $C$ 于 $M, N$ 两点， $M, N$ 两点在 $C$ 的准线上的射影分别为 $A, B$ ，且 $△ M A F$ 的面积是 $△ N B F$ 的面积的4倍，若 $y$ 轴被以 $M N$ 为直径的圆截得的弦长为 $\sqrt{7}$ ，则 $p$ 的值为．

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13、在 $Δ A B C$ 中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a = 4, B = 45^{°},$ 若 $(a - b) (\sin A + \sin B) = (c - b) \sin C,$ 则A= ， b=.

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14、总体编号为01，02，…，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为.
7816 6572 0802 6314 0214 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181

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15、一名射击运动员射击一次击中目标的概率为 $\frac{1}{3}$ ，各次射击互不影响．若他连续射击两次，则下列说法正确的是（）

A、事件“至多击中一次”与“恰击中一次”互斥 B、事件“两次均未击中”与“至少击中一次”相互对立 C、事件“第一次击中”与“两次均击中”相互独立 D、记 $X$ 为击中目标的次数，则 $E (X) = \frac{2}{3}$ ， $D (X) = \frac{4}{9}$

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16、2024年春晚魔术师刘谦再次重返舞台，利用简单的模具扑克牌向观众再次展示了魔术的魅力与神奇.某魔术师在表演时将8张不同色号的扑克牌分给3名观众，每个观众被分到的扑克牌数目不少于2张，且3名观众中没有人被分到3张扑克牌，则不同的分配方法有（）

A、2520种 B、1260种 C、420种 D、210种

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17、若直线 $y = 2 x - 1$ 与双曲线 $C : x^{2} - m y^{2} = 1$ 的一条渐近线平行，则实数 $m$ 的值为：（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、4 C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $\sqrt{S_{n}} = n - 1$ ，则 $a_{7} + a_{8} =$ （）

A、11 B、13 C、24 D、25

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19、已知向量 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (- 1, λ)$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $λ =$ （）

A、3 B、 $- 3$ C、1 D、 $- 1$

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20、已知集合 $A = \{x| x^{2} - 4 \geq 0\}, B = \{x| x < 1\}, A \cup (∁_{R} B) =$ （）

A、 $\{x| x \leq - 2,$ 或 $x \geq 2\}$ B、 $\{x| x \leq - 2,$ 或 $x \geq 1\}$ C、 $\{x| 1 \leq x \leq 2\}$ D、 $\{x| - 2 \leq x \leq 1\}$

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