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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = 2$ ， $B C = C D = 1$ ， $A B ∥ C D$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ A P B = 90 °$ ．

(1)、证明： $P A ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $P A = P B$ ，求点 $D$ 到平面 $P A C$ 的距离．

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2、已知 $f (α) = \frac{\sin (α - \frac{π}{2}) \cos (\frac{3 π}{2} - α) \tan (π + α) \cos (\frac{π}{2} + α)}{\sin (2 π - α) \tan (- α - π) \sin (- α - π)}$ .
（1）化简 $f (α)$ ；
（2）若 $α$ 是第三象限角，且 $\cos (α - \frac{3 π}{2}) = \frac{1}{5}$ ，求 $f (α)$ .

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3、如图，在正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A_{1} B_{1} = 2, A B = 4$ .若该四棱台的体积为 $\frac{28 \sqrt{3}}{3}$ ，则该四棱台的高为；外接球的表面积为.

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4、已知复数 $z = \frac{1}{1 - i} - i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $\bar{z}$ 的虚部为.

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5、已知扇形圆心角 $α = 60^{\circ}, α$ 所对的弧长 $l = 6 π$ ，则该扇形面积为.

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6、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的数量积（又称向量的点积或内积）： $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ ，其中 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ 表示向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角；定义向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的向量积（又称向量的叉积或外积）： $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| sin ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ ，其中 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ 表示向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角，则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 为非零向量，且 $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a} \cdot \vec{b}|$ ，则 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{π}{4}$ B、若四边形 $A B C D$ 为平行四边形，则它的面积等于 $|\vec{A B} \times \vec{A D}|$ C、已知点 $A (2, 0), B (- 1, \sqrt{3}), O$ 为坐标原点，则 $|\vec{O A} \times \vec{O B}| = 2 \sqrt{3}$ D、若 $|\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{\sqrt{3}}{3} \vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{3}$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ 的最小值为 $\sqrt{12 + 8 \sqrt{3}}$

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7、下列命题正确的是（）

A、复数 $z = - 3 + 2 i$ 的共轭复数是 $\bar{z} = 3 - 2 i$ B、复数 $z = a^{2} + a - 2 + (a^{2} - 3 a + 2) i (a \in R)$ 是纯虚数，则 $a = - 2$ C、复数 $z = m + 1 + (m^{2} - 1) i (m \in R)$ 所对应的点在第二象限，则 $m < - 1$ D、已知 $z_{1} = 3 - 4 i, z_{2} = 3 + 4 i$ ，则 $z_{1} z_{2} = 25$

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8、下列说法中不正确的是（）

A、底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B、有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 C、棱台的上，下底面可以不相似，但侧棱长一定相等 D、圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线

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9、一个圆台的上､下底面的半径分别为1和4，高为4，则它的表面积为（）

A、 $41 π$ B、 $42 π$ C、 $29 \sqrt{3} π$ D、 $(18 + 7 \sqrt{3}) π$

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10、在平行四边形 $A B C D$ 中， $A C, B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 在线段 $B D$ 上，且 $\vec{B E} = 3 \vec{E D}$ ，则 $\vec{A E} =$ （）

A、 $\frac{1}{4} \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ C、 $\frac{3}{4} \vec{A D} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{A D} + \frac{3}{4} \vec{A C}$

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11、若向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = \sqrt{3}$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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12、如图，一个水平放置的平面图形的直观图是直角 $△ O^{'} B^{'} A^{'}$ ，其中 $A^{'} B^{'} = \sqrt{5}$ ，则原图形的面积为（）

A、 $5 \sqrt{2}$ B、 $5 \sqrt{5}$ C、 $10 \sqrt{5}$ D、 $10 \sqrt{2}$

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13、化简 $(\vec{A B} - \vec{C D}) - (\vec{A C} - \vec{B D})$ 所得的结果是（）

A、 $2 \vec{A B}$ B、 $\vec{B A}$ C、 $\vec{0}$ D、 $\vec{A B}$

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14、如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（）

A、 $α \cap β = m, n \subset α, A \subset α, A \subset β$ B、 $α \cap β = m, n \in α, m \cap n = A$ C、 $α \cap β = m, n \subset α, m \cap n = A$ D、 $α \cap β = m, n \in α, A \in α, A \in β$

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15、“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 $△ A B C$ 的三个内角均小于 $120^{\circ}$ 时，使得 $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O A = 120^{\circ}$ 的点O即为费马点；当 $△ A B C$ 有一个内角大于或等于 $120^{\circ}$ 时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，点 $D$ 在 $A C$ 上，且 $A D = 2 D C$ ， $B D = \sqrt{6}$ .

(1)、若 $\frac{2 \sin A - \sin C}{\sin C} = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{a^{2} + c^{2} - b^{2}}$ .
①求 $B$ ；
②设点 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点，当 $△ A B C$ 面积最大时，求 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ 的值；

(2)、设点 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点，若 $\cos 2 B + \cos 2 C - \cos 2 A = 1$ ， $|P B| + |P C| = t |P A|$ ，求实数t的最小值.

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16、如图，四棱锥 $P - A B C D$ ， $P A ⊥$ 平面ABCD， $B C$ ∥ $A D$ ， $∠ B A D = 90 °$ ， $A B = B C = 1$ ， $P A = A D = 2$ .点E为PD的中点.

(1)、求证： $C E$ ∥平面PAB；

(2)、求证： $C D ⊥$ 平面PAC；

(3)、求三棱锥 $P - A C E$ 的体积.

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17、甲、乙、丙三人组成一个小组代表学校参加一个“诗词大会”闯关活动团体赛.三人各自独立闯关，在第一轮比赛中甲闯关成功的概率为 $\frac{1}{2}$ ，甲、乙都闯关成功的概率为 $\frac{2}{7}$ ，甲、丙都闯关成功的概率为 $\frac{3}{10}$ ，每人闯关成功记 $2$ 分，三人得分之和记为小组团体总分.

(1)、求乙、丙各自闯关成功的概率；

(2)、求在第一轮比赛中团体总分为 $4$ 分的概率；

(3)、若团体总分不小于 $4$ 分，则小组可参加下一轮比赛，求该小组参加下一轮比赛的概率.

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18、某校为了增强学生的安全意识，为学生进行了安全知识讲座，讲座后从全校学生中随机抽取了 $300$ 名学生进行笔试 $($ 试卷满分 $100$ 分 $)$ ，并记录下他们的成绩，将数据分成 $5$ 组： $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ ，并整理得到如下频率分布直方图.

(1)、求这部分学生成绩的众数与平均数 $($ 同组数据用该组区间的中点值作代表 $)$ ；

(2)、估计这组数据的上四分位数；

(3)、为了更好的了解学生对安全知识的掌握情况，学校决定在成绩高的第 $4$ 、 $5$ 组中用分层抽样的方法抽取 $6$ 名学生，进行第二轮比赛，最终从这 $6$ 名学生中随机抽取 $3$ 人参加市安全知识竞赛，求 $90$ 分 $($ 包括 $90$ 分 $)$ 以上的同学恰有 $2$ 人被抽到的概率.

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19、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, 5)$ ， $\vec{c} = (2 t + 1, t), (t \in R)$ .

(1)、若 $\vec{c} ⊥ \vec{b}$ ，求t的值；

(2)、若 $\vec{c}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角为钝角，求t的取值范围.

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20、在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 的平分线交 $A C$ 于点 $D$ ， $∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ ， $B D = 8$ ，则 $△ A B C$ 周长的最小值为.

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