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相关试卷

1、已知 $z_{1}, z_{2}$ 为复数，下列结论错误的是（）

A、 $\bar{z_{1} + z_{2}} = \bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}$ B、 $\bar{z_{1} \cdot z_{2}} = \bar{z_{1}} \cdot \bar{z_{2}}$ C、若 $z_{1} \cdot z_{2} \in R$ ，则 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ D、若 $z_{1} \cdot z_{2} = 0$ ，则 $z_{1} = 0$ 或 $z_{2} = 0$

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2、函数 $y = A sin (ω x - φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示，则其解析式为（）

A、 $y = 2 sin (2 x - \frac{π}{6})$ B、 $y = 2 sin (2 x - \frac{π}{3})$ C、 $y = 2 \sin (x - \frac{π}{3})$ D、 $y = \sin (2 x - \frac{π}{3})$

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3、古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数 $\cot θ = \frac{1}{\tan θ}$ ，正割函数 $\sec θ = \frac{1}{\cos θ}$ ，余割函数 $\csc θ = \frac{1}{\sin θ}$ ，正矢函数 $v e r \sin θ = 1 - \cos θ$ ，余矢函数 $v e r \cos θ = 1 - \sin θ$ .如图角 $θ$ 始边为 $x$ 轴的非负半轴，其终边与单位圆交点 $P$ ， $A$ 、 $B$ 分别是单位圆与 $x$ 轴和 $y$ 轴正半轴的交点，过点 $P$ 作 $P M$ 垂直 $x$ 轴，作 $P N$ 垂直 $y$ 轴，垂足分别为 $M$ 、 $N$ ，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线，过点 $B$ 作 $y$ 轴的垂线分别交 $θ$ 的终边于 $T$ 、 $S$ ，其中 $A M$ 、 $P S$ 、 $B S$ 、 $N B$ 为有向线段，下列表示正确的是（）

A、 $v e r \sin θ = A M$ B、 $\csc θ = P S$ C、 $\cot θ = B S$ D、 $\sec θ = N B$

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4、在 $△ A B C$ 中，已知 $2 \sin A \cos B = \sin C$ ，那么 $△ A B C$ 一定是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、正三角形

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5、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} + \vec{b} = (2, 3), \vec{a} - \vec{b} = (- 2, 1)$ ，则 ${|\vec{a}|}^{2} - {|\vec{b}|}^{2} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、1

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6、复数 $\frac{1+3i}{3+i}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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7、若扇形的面积为1，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的半径为（）

A、1 B、2 C、4 D、6

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8、与 $- 224^{\circ}$ 角终边相同的角是（）

A、 $24^{\circ}$ B、 $113^{\circ}$ C、 $124^{\circ}$ D、 $136^{\circ}$

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9、如图，在长方形 $S A B C$ 中， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 2$ ， $\vec{S D} = λ \vec{S C} (\frac{\sqrt{3}}{3} < λ < 1)$ ，将 $△ S A D$ 沿 $A D$ 折起至 $△ S^{'} A D$ ，使平面 $S^{'} A B$ $⊥$ 平面 $A B C$ .

(1)、证明： $B C$ $⊥$ 平面 $S^{'} A B$ ；

(2)、若二面角 $S^{'} - A D - B$ 的平面角的余弦值为 $\frac{2}{3}$ ，求 $S D$ 的长；

(3)、设直线 $B C$ 与平面 $S^{'} A D$ 所成的角为 $θ_{1}$ ，二面角 $S^{'} - A D - B$ 的平面角为 $θ_{2}$ ，证明： $\cos 2 θ_{1} + \frac{1}{\cos θ_{2}} \geq 2 \sqrt{2} - 1$ .
（注：本题用空间向量法求解或证明不给分，若需要作辅助线，请在答题卡上作出相应的辅助线.）

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10、为了提高市民的业余生活质量，因地制宜地利用空置土地资源，某市规划管理局拟在交通便利的区域规划一个休闲区，由于该市三环路附近有一个便捷的停车场和一片三角形空置区域，该市规划管理局准备在三角形空置区域规划三个功能区：如图所示， $△ A C D$ 区域规划为游客餐饮服务区， $△ C D E$ 区域规划为微型游乐场， $△ B C E$ 区域规划为网红打卡区. 已知 $A C ⊥ B C$ ， $A C = 10$ m， $B C = 10 \sqrt{3}$ m， $∠ D C E = \frac{π}{6}$ ，

(1)、若 $C D = 5 \sqrt{3}$ m，求 $D E$ 的长；

(2)、若 $A D \cdot A E = 100 m^{2}$ ，求 $∠ A C D$ 的值；

(3)、求微型游乐场 $△ C D E$ 面积的最小值.

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11、如图，在五面体 $A B C D E F$ 中， $A B / / C D$ ， $B D ⊥ B F$ ，平面 $A B F E$ $\cap$ 平面 $C D E F = E F$ ， $A B = A D = A E = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ， $E F = 3$ ， $∠ B A D = ∠ D A E = \frac{π}{3}$ .

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若点 $O$ 、 $G$ 分别为 $A D$ 、 $B C$ 的中点，证明：平面 $E O G F$ $⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(3)、求该五面体的体积.
（注：本题用空间向量法求解或证明不给分，若需要作辅助线，请在答题卡上作出相应的辅助线.）

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12、已知振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移 $y = f (t)$ 随时间 $t$ 的变化规律可以用函数 $f (t) = A \sin (ω t + φ)$ $(A, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 来刻画，已知位移 $y = f (t)$ 部分图象如图所示.

(1)、求该振子在单位时间内往复运动的次数和 $y = f (t)$ 的解析式；

(2)、将 $y = f (t)$ 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到 $y = g (t)$ ，求 $y = g (t)$ 在 $[\frac{5}{24}, \frac{1}{2}]$ 上的值域.

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13、已知复数 $z = a + 2 + (a^{2} + a - 2) i$ ，其中 $i$ 为虚数单位， $a \in R$ .

(1)、若在复平面内复数 $z$ 位于第二象限，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = - 1$ 时， $\bar{z}$ 是方程 $x^{2} + m x + n = 0 (m, n \in R)$ 的一个根，求 $\bar{z}$ 和 $n - m$ 的值.

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14、已知在四面体 $P - A B C$ 中， $P A = B C = 2$ ， $P B = A C = \sqrt{7}$ ， $P C = A B = \sqrt{5}$ ， $\vec{P M} = \vec{M C}$ ， $\vec{A N} = \vec{N B}$ ，平面 $β$ 满足 $M N ⊥ β$ ，记平面 $β$ 截得该四面体 $P - A B C$ 的多边形的面积为 $S$ ，则 $S$ 的最大值为.

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15、 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $c = 2$ ， $a = \sqrt{6}$ ， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ， $D$ 为边 $B C$ 上一点，记 $△ A B D$ 、 $△ A D C$ 的面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ ，若 $b \cdot S_{1} = 2 S_{2}$ ，则 $A D =$ .

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16、已知向量 $\vec{a} = (1, x)$ ，向量 $\vec{b} = (2, 1)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则实数 $x$ 的值为.

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17、已知直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ， A是 $l_{1}, l_{2}$ 之间的一定点并且点A到 $l_{1}, l_{2}$ 的距离分别为1，2，B是直线 $l_{1}$ 上一动点，作 $A C ⊥ A B$ ，且使AC与直线 $l_{2}$ 交于点C， $\vec{A G} = \frac{1}{3} (\vec{A B} + \vec{A C})$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 面积的最小值为 $2$ B、点 $G$ 到直线 $l_{1}$ 的距离为定值 C、当 $|\vec{G B}| = |\vec{G C}|$ 时， $△ G A B$ 的外接圆半径为 $\frac{5 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\vec{G B} \cdot \vec{G C}$ 的最大值为 $- 2$

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18、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 A D = 2$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点，现将 $△ C D E$ 沿 $C D$ 翻折至 $△ C D E^{'}$ ， $E^{'} \notin$ 平面 $A B C$ ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）

A、存在某个位置，使得 $E^{'} B ⊥ E^{'} D$ B、三棱锥 $E^{'} - C D E$ 体积的最大值为 $\frac{1}{4}$ C、当 $E^{'} B = \sqrt{3}$ ，直线 $A E^{'}$ 与底面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、若二面角 $E^{'} - C D - A$ 的平面角为 $\frac{2 π}{3}$ ，则 $B E^{'} = 2$

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19、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $2 b cos C + 2 c cos B = 3$ ， $3 sin (B + C) = 2 {sin}^{2} \frac{A}{2}$ ，则（）

A、 $a = \frac{3}{2}$ B、 $tan \frac{A}{2} = 3$ C、 $△ A B C$ 为锐角三角形 D、 $b c$ 的最大值为 $\frac{9}{4}$

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20、已知函数 $f (x) = 4 \sin x - 4 \sin^{3} x - a \sin 2 x - 2 a \cos^{2} x + 2 a^{2} \cos x (a \in R)$ ，若 $f (x) \geq 0$ 在 $x \in [0, \frac{π}{4}]$ 上成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $(- \infty, 0] \cup [2 \sqrt{2}, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0] \cup [\sqrt{2}, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0] \cup [1, + \infty)$

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