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相关试卷

1、已知 $m$ ， $n$ ， $l$ 是三条不重合的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个两两不重合的平面，则下列命题中真命题是（）

A、若 $m ⊥ α$ ， $n \subset α$ ，则 $m ⊥ n$ B、若 $l ⊥ m$ ， $l ⊥ n$ ， $m \subset α$ ， $n \subset α$ ，则 $l ⊥ α$ C、若 $m ⊥ α$ ， $l / / β$ ， $l ∥ m$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $α \cap β = l$ ， $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $l ⊥ γ$

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2、已知向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (x, 2)$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x = 4$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x = - 1$ C、若 $|\vec{b}| = \sqrt{5}$ ，则 $x = 1$ D、若 $\vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$ ，则 $x = \frac{3}{2}$

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3、已知关于 $x$ 的不等式 $(\frac{1}{2} sin x - 2 a) [x^{2} - (2 a + 1) x + 1] \leq 0$ 对任意 $x \in (0, + \infty)$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{16}, \frac{1}{4}]$ B、 $[\frac{1}{8}, \frac{1}{4}]$ C、 $[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$ D、 $[\frac{1}{2}, \frac{3}{4}]$

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4、我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数，若函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 1$ 的图象关于点 $(x_{0}, y_{0})$ 成中心对称图形，则（）

A、 $x_{0} = 0$ B、 $x_{0} = \frac{1}{2}$ C、 $x_{0} = 1$ D、 $x_{0} = 2$

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5、近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口， $Peukert$ 于1898年提出蓄电池的容量 $C$ （单位： $Ah$ ），放电时间 $t$ （单位： $h$ ）与放电电流 $I$ （单位： $A$ ）之间关系的经验公式： $C = I^{n} \cdot t$ ，其中 $n$ 为 $Peukert$ 常数.为测算某蓄电池的 $Peukert$ 常数 $n$ ，在电池容量不变的条件下，当放电电流 $I = 30 A$ 时，放电时间 $t = 15 h$ ；当放电电流 $I = 40 A$ 时，放电时间 $t = 8 h$ .若计算时取 $lg 2 \approx 0.3$ ， $lg 3 \approx 0.477$ ，则该蓄电池的 $Peukert$ 常数 $n$ 大约为（）

A、1.25 B、1.75 C、2.25 D、2.55

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6、已知实数 $a \in R$ ， $f (x) = \frac{2^{x}}{2^{a x} - 1}$ 是奇函数，则 $a =$ （）

A、2 B、1 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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7、在一次数学考试中，超过85分（含85分）为优秀，现有5位学生成绩如下：79，83，87，90，95.从这5位学生中随机抽取2位，则抽到的2位同学考试成绩都为优秀的概率（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{2}{5}$

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8、已知 $f (x) = |ln x|$ ，若 $a = f (\frac{1}{3})$ ， $b = f (2)$ ， $c = f (4)$ ，则（）

A、 $c<a<b$ B、 $b < a < c$ C、 $a < b < c$ D、 $b<c<a$

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9、已知 $tan α = 3$ ，则 $\frac{cos α - 2 sin α}{3 sin α + cos α}$ 的值（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- 2$ D、2

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10、下列函数在定义域上为减函数的是（）

A、 $f (x) = 2 x - 1$ B、 $f (x) = \frac{1}{x}$ C、 $f (x) = sin x$ D、 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$

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11、样本数据1，3，5，6，7，10的中位数为（）

A、5 B、5.5 C、6 D、5或6

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12、函数 $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}} + \frac{1}{sin x}$ 的定义域为（）

A、 $(0, 1]$ B、 $[- 1, 0)$ C、 $[- 1, 1]$ D、 $[- 1, 0) \cup (0, 1]$

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13、复数 $z = 1 - 2024 i$ （ $i$ 为虚数单位）的虚部是（）

A、1 B、 $- 2024$ C、2024 D、 $- 2024 i$

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14、已知集合 $A = {x ∣ - 2 \leq x < 5}$ ， $B = \{- 3, 0, 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0\}$ B、 $\{- 2, 0\}$ C、 $\{0, 3\}$ D、 $\{- 2, 0, 3\}$

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15、设函数 $f (x) = x^{2} + a x + b$ $(a, b \in R)$ ．

(1)、若 $b = 1$ ，函数 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 的值域是 $[m, n]$ ，求函数 $h (a) = n - m$ 的表达式；

(2)、令 $t = b - \frac{a^{2}}{4}$ ，若存在实数 $c$ ，使得 $|f (c)| \leq 1$ |与 $|f (c + 2)| \leq 1$ |同时成立，求 $t$ 的取值范围

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16、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (1, \frac{3}{2})$ ，且离心率 $e$ 为 $\frac{1}{2}$

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、 $E$ 、 $F$ 是椭圆上的两个动点，如果直线 $A E$ 的斜率与 $A F$ 的斜率互为相反数，证明直线 $E F$ 的斜率为定值，并求出这个定值.

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中，对任意的 $n \in N_{+}$ ，都有 $a_{n} + a_{n + 1} = 4 n$ .

(1)、若 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $a_{1} = 3$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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18、为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取80名学生．通过测验得到了如表数据：
学校
数学成绩
合计
不优秀
优秀
甲校
30
10
40
乙校
20
20
40
合计
50
30
80

(1)、依据小概率值 $α = 0.01$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验，分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异；如果表中所有数据都扩大为原来的10倍．在相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论还一样吗？请你试着解释其中的原因．

(2)、据调查，丙校学生数学成绩的优秀率为30%，且将频率视为概率、现根据甲、乙、丙三所学校总人数比例依次抽取了24人，30人，30人进行调查访谈．如果已知从中抽到了一名优秀学生，求该名学生来自丙校的概率．
附：临界值表：
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
x_α
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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19、在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $B B_{1}$ ， $D D_{1}$ 上，且 $A E ⊥ A_{1} B$ ， $A F ⊥ A_{1} D$ ．

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $A E F$ ；

(2)、当 $A D = 3$ ， $A B = 4$ ，且平面 $A E F$ 与平面 $D_{1} B_{1} B D$ 的夹角的余弦值为 $\frac{12 \sqrt{2}}{25}$ 时，求 $A A_{1}$ 的长．

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20、已知 $△ A B C$ 内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\sin C = \sqrt{2} \sin B$ ，且 $c = 4 \sqrt{2}$ .

(1)、求边b的值；

(2)、若D为边BC的中点， $\cos ∠ C A D = \frac{3}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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学校	数学成绩		合计
学校	不优秀	优秀	合计
甲校	30	10	40
乙校	20	20	40
合计	50	30	80

α	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
x_α	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828