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1、复数 $z_{1} = {(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{2}$ 的虚部是；若复数 $z_{2}$ 满足 $|z_{2}| = 1, i$ 为虚数单位，则 $|\bar{z_{2}} + 1 + i|$ 的取值范围为.

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2、已知 $α$ 和 $β$ 都是锐角，向量 $\vec{a} = (\cos α, \sin α)$ ， $\vec{b} = (\sin β, \cos β)$ ， $\vec{c} = (1, 0)$ ，则（）

A、存在 $α$ 和 $β$ ，使得 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、存在 $α$ 和 $β$ ，使得 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ C、对于任意的 $α$ 和 $β$ ，都有 $|\vec{a} - \vec{b}| < \sqrt{2}$ D、对于任意的 $α$ 和 $β$ ，都有 $\vec{a} \cdot \vec{b} < \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$

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3、下列说法不正确的是（）

A、有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 B、如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥 C、棱长都是1的三棱锥的表面积为 $\sqrt{3}$ D、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2, E, F$ 分别为棱 $A A_{1}$ 与 $C C_{1}$ 的中点，四棱锥 $A_{1} - E B F D_{1}$ 的体积为 $\frac{4}{3}$

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4、设 $z_{1}, z_{2}$ 为复数，则下列结论中正确的是（）

A、若 $\frac{1}{z_{1}}$ 为虚数，则 $z_{1}$ 也为虚数 B、若 $|z_{1} + i| = 1$ ，则 $|z_{1}|$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ C、 $|z_{1} z_{2}| = |z_{1} \bar{z_{2}}|$ D、 $|z_{1} - z_{2}| \leq |z_{1}| + |z_{2}|$

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5、在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为 $A, B, C$ 的对边， $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，且有 $A B + B C = \frac{2 \sqrt{3}}{3} A C$ ， $\sin C (\cos A - \sqrt{3}) + \cos C \sin A = 0$ ，若 $\overset{⃑}{A O} = x \overset{⃑}{A B} + y \overset{⃑}{A C}$ ， $x, y \in R$ ，则 $x - y =$

A、 $- 2$ B、 $2$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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6、在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 9$ ， $\sin B = \cos A \sin C$ ， $S_{△ A B C} = 6$ ， $P$ 为线段 $A B$ 上的动点（不包括端点），且 $\vec{C P} = x \cdot \frac{\vec{C A}}{| \vec{C A} |} + y \cdot \frac{\vec{C B}}{| \vec{C B} |}$ ，则 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{11}{6} + \frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{11}{6}$ C、 $\frac{11}{12} + \frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{11}{12}$

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7、在 $Δ A B C$ 中， $∠ B = 30^{\circ}$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $A C = 2$ ，则 $Δ A B C$ 的面积是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ 或 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$ 或 $4 \sqrt{3}$

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8、已知 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = \sqrt{3}$ ， $\vec{a} + \vec{b} = (\sqrt{3}, 1)$ ，则 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $60 °$ B、 $120 °$ C、 $45 °$ D、 $135 °$

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9、如图，一个水平放置平面图形的直观图 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 是边长为1的菱形，且 $O^{'} D^{'} = 1$ ，则原平面图形的面积为（）

A、2 B、1 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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10、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (1, 1)$ ， $\overset{⃑}{b} = (2, - 1)$ ，若 $(λ \overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b})$ $∥$ $(\overset{⃑}{a} - 2 \overset{⃑}{b})$ ，则实数 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、2 D、-2

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11、已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z$ 满足 $z {(1 - i)}^{2} = 2$ ，则 $z^{2024} =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- i$ D、 $i$

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12、已知函数 $f (x) = 2 x^{2} + a x + b (a, b \in R)$ ，函数 $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ .

(1)、若 $f (x) = f (2 - x)$ ，且 $f (2) = 3$ ，求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、当 $a = 1$ 时，若函数 $f (x)$ 的值域和函数 $f (f (x))$ 的值域相同，求 $b$ 的取值范围；

(3)、当 $2 < b < 8$ 时，记 $M (a, b)$ 为 $|g (x)|$ 在 $[1, 2]$ 上的最大值，求 $M (a, b)$ 的最小值.

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13、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ ，底面是边长为4的正方形， $M$ ， $N$ 分别为棱 $A P$ ， $B C$ 的中点， $P A = P B$ ， $C P = D P = 3$ ， $∠ A C P = \frac{π}{4}$ .

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $C D P$ ；

(2)、求二面角 $D - B C - P$ 的平面角余弦值.

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14、已知平面向量 $\vec{a} = (2 sin x, \sqrt{3} cos (\frac{π}{2} - x))$ ， $\vec{b} = (sin (\frac{π}{2} + x), 2 sin x)$ ，且函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} - \sqrt{3}$ .

(1)、求 $f (\frac{π}{3})$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(3)、求函数 $y = f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值，并求出取得最大值时 $x$ 的值.

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15、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $M$ ， $N$ 分别为线段 $B_{1} C$ ， $D_{1} C_{1}$ 的中点，点 $Q$ 在矩形 $D_{1} B_{1} B D$ 及其内部运动，则 $△ Q M N$ 周长的最小值为.

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16、若函数 $f (x) = cos x + a$ ，存在 $x_{1}, x_{2} \in R$ 使得 $f (x_{1}) \cdot f (x_{2}) = - 1$ ，则实数 $a$ 的值为.

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17、若 $x, y > 0$ ，且 $x + 2 y = 1$ ，则 ${log}_{\frac{1}{2}} x + {log}_{\frac{1}{2}} y$ 的最小值为； $\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$ 的最小值为.

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18、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a = 1$ ， $b = 2$ ， $sin A = \frac{1}{4}$ ，则 $sin B =$ .

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19、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 1$ ， $A B = B C = A C = \sqrt{3}$ ，点 $P$ 在棱 $A B$ 上运动（含端点），则下列结论正确的是（）

A、直线 $A_{1} P$ 与直线 $C C_{1}$ 所成角的范围是 $[0, \frac{π}{3}]$ B、存在点 $P$ ，使得 $A_{1} B ⊥$ 平面 $B_{1} P C$ C、若 $P$ 为棱 $A B$ 的中点，则平面 $A_{1} C_{1} P$ 截三棱柱所得截面积为 $\frac{15 \sqrt{3}}{16}$ D、若 $Q$ 为棱 $B C$ 上的动点，则三棱锥 $P - A_{1} B_{1} Q$ 体积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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20、已知函数 $f (x) = sin ω x (ω > 0)$ ，则下列正确的是（）

A、函数的值域为 $[- 1, 1]$ B、函数 $y = |f (x)|$ 的最小正周期为 $\frac{2 π}{ω}$ C、当 $ω = 1$ 时，方程 $f (x) = lg x$ 有且仅有1个实根 D、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3}, \frac{π}{4}]$ 上单调递增，则 $0 < ω \leq \frac{3}{2}$

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