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相关试卷

1、2022年2月4日晚，璀璨的烟花点亮“鸟巢”上空，国家体育场再次成为世界瞩目的焦点，北京成为奥运历史和人类历史上第一座举办过夏奥会和冬奥会的“双奥之城”，奥林匹克梦想再次在中华大地绽放．冰雪欢歌耀五环，北京冬奥会开幕式为第二十四届“简约、安全、精彩”的冬奥盛会拉开序幕．某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过电视收看的占 $\frac{1}{3}$ ，通过手机收看的占 $\frac{1}{2}$ ，其他为未收看者．

(1)、从该地区被调查对象中随机选取4人，用 $X$ 表示这4人中通过电视收看的人数，求“4人中恰有3人是通过电视收看”的概率以及 $E (X)$ ；

(2)、采用分层随机抽样方法从该地区被调查对象中抽取6人，再从这6人中随机选出3人，用 $Y$ 表示这3人中通过手机收看的人数，求 $Y$ 的分布列和 $E (Y)$ ．

(3)、从该地区被调查对象中随机选取3人，若3人中恰有1人用手机收看，1人用电视收看，1人未收看的概率为 $P_{1}$ ；若3人全都是用电视收看的概率为 $P_{2}$ ．试比较 $P_{1}$ 与 $P_{2}$ 的大小．（直接写出结论）

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2、已知数列 ${a_{n}}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，数列 $\{b_{n}\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，且 $a_{1} = b_{1} = - 8$ ， $a_{4}$ $+ a_{6} = 0$ ， $a_{3} b_{2} = - 16$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 的最值；

(3)、设 $c_{n} = b_{n}^{2}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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3、已知二项式 ${(x - \frac{1}{2 x})}^{n}$ ，且 $n$ 满足 $C_{n}^{2} - 2 C_{n}^{1} = 12$ ．

(1)、求 $n$ 值，并求二项式系数最大的项；

(2)、求二项展开式中含 $x^{4}$ 项的系数；

(3)、请直接写出展开式中所有项的系数的和．（此题涉及的系数一律用数字作答）

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4、已知点列 $A_{n} (x_{n}, 0) (n = 1, 2, \dots)$ ，其中 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = 2$ ， $A_{3}$ 是线段 $A_{1} A_{2}$ 的中点， $A_{4}$ 是线段 $A_{2} A_{3}$ 的中点，…… $A_{n}$ 是线段 $A_{n - 2} A_{n - 1}$ 的中点，……．记 $a_{n} = x_{n + 1} - x_{n}$ ，则． $a_{3} =$ ； $x_{n}$ $=$ ．

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5、已知函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ ， $g (x) = x^{2} - 4 x + a$ ，若对于任意的 $x_{1}, x_{2} \in$ $(0, + \infty)$ ，使得 $f (x_{1}) \leq g (x_{2})$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是．

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6、将 $A, B, C$ 三个人随机安排到甲、乙、丙、丁这四个部门工作，已知甲部门一定有人，则不同的安排方法种数是．

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7、将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，记 $X$ 为“正面点数不大于2”出现的次数，则随机变量 $X$ 的方差 $D (X) =$ ．

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8、 $2$ 和 $6$ 的等比中项是．

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9、函数 $f (x) = \ln x - \frac{1}{x} - a x$ （其中 $a \in R$ ）．关于函数 $f (x)$ 有四个结论：
① $\forall a < 0$ ，函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 内单调递增；
② $\forall a > 0$ ，函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 内有最小值；
③ $\exists a > 0$ ，使得函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 内存在两个零点；
④ $\exists a \in R$ ，使函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 内存在2个极值点．
其中正确结论的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10、从甲地到乙地共有 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三条路线可选择，选路线 $A$ 堵车的概率为 $0.2$ ，选路线 $B$ 堵车的概率为 $0.3$ ，选路线 $C$ 堵车的概率为 $0.4$ ，若李先生从这三条路线中等可能的任选一条开车自驾游，则堵车的概率为（）

A、0.2 B、0.3 C、0.7 D、0.9

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11、已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，下表给出了 $S_{n}$ 的部分数据：
$n$
1
2
3
4
5
6
…
$S_{n}$
1

$- 20$
61

那么数列 ${a_{n}}$ 的第4项等于（）

A、 $- 27$ B、 $- 81$ C、 $- 27$ 或27 D、 $- 81$ 或81

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12、数列 ${a_{n}}$ 是等比数列，则对于“对于任意的 $m \in$ $N^{*}$ ， $a_{n + 2} > a_{n}$ ”是“ ${a_{n}}$ 是递增数列”的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充分必要 D、不充分也不必要

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13、已知函数 $y = f (x)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x_{1}) > f (x_{3})$ B、 $x_{2}$ 是极大值点 C、 $f (x)$ 的图象在点 $x = x_{1}$ 处的切线的斜率等于0 D、 $f (x)$ 在区间 $(a, b)$ 内一定有2个极值点

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14、判断函数 $y = x \cos x - \sin x$ 在下面哪个区间内是增函数（）

A、 $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ B、 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ C、 $(π, 2 π)$ D、 $(0, π)$

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15、投掷一枚质地均匀的骰子两次，记 $A = {$ 两次的点数不同 $}$ ， $B = {$ 两次的点数之和小于6 $}$ ，则在 $A$ 发生条件下 $B$ 发生的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{4}{15}$ C、 $\frac{7}{15}$ D、 $\frac{2}{3}$

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16、某校运动会负责播出稿件的志愿者有2人，负责给运动员引领的志愿者有5人，现要从这7人中选出3人组成慰问团，要求每项志愿服务都要有人参与，则不同的选法共有（）

A、16种 B、20种 C、25种 D、28种

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17、二项式 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项为（）

A、第1项 B、第2项 C、第3项 D、第4项

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18、如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 2$ ， $A C = 3$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点，点 $E$ 满足 $\overset{⃑}{A E} = 2 \overset{⃑}{E C}$ ， $B E$ 与 $A D$ 交于点 $G$ .
（1）设 $\overset{⃑}{A G} = λ \overset{⃑}{A D}$ ，求实数 $λ$ 的值；
（2）设 $H$ 是 $B E$ 上一点，且 $\overset{⃑}{H A} \cdot \overset{⃑}{H B} = \overset{⃑}{H C} \cdot \overset{⃑}{H A}$ ，求 $\overset{⃑}{G H} \cdot \overset{⃑}{B C}$ 的值.

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19、如图，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $B C ⊥ C D$ ， $C D = 2 A B = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ A D C = 45 °$ ，梯形绕着直线 $A B$ 旋转一周.
（1）求所形成的封闭几何体的表面积；
（2）求所形成的封闭几何体的体积.

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20、已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和 $2 \sqrt{3}$ ，此三棱柱的高为 $\sqrt{3}$ ，则该三棱柱的外接球的体积为．

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$n$	1	2	3	4	5	6	…
$S_{n}$	1			$- 20$	61