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相关试卷

1、设 $a > 0$ ，定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (a) = 1$ ，且 $\forall x, y \in R, f (x + y) = f (x) f (a - y) + f (y) f (a - x)$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (2 a - x) = f (x)$ C、 $f (x)$ 为偶函数 D、 $f (2025 a) = 1$

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2、已知函数 $f (x) = \sqrt{2025 - x}, g (x) = \sqrt{x - 2024}$ ，设 $2024 < x_{1} < x_{2} < 2025$ ，则（）

A、 $\sqrt{x_{1}} - \sqrt{x_{2}} < g (x_{1}) - g (x_{2})$ B、 $\frac{f (x_{1})}{g (x_{1})} > \frac{f (x_{2})}{g (x_{2})}$ C、 $1 < f (x_{1}) + g (x_{1}) \leq \sqrt{2}$ D、 $\frac{g (x_{1}) + g (x_{2})}{2} > g (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$

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3、对于集合 $A$ ，若 $\forall x \in A, 2 - x \in A$ ，则称 $A$ 为对偶互存集，则下列为对偶互存集的是（）

A、 $\{- 1, 0, 1, 2, 3\}$ B、 $\{x |x = 2 k - 1, k \in Z\}$ C、 $\{y |y = \frac{1}{x - 1}\}$ D、 $\{y |y = 1 + sin x\}$

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4、已知 $a = sin \frac{1}{3}, b = ln \frac{3}{2}, c = 3^{- \frac{1}{2}}$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < c < b$ C、 $a < b < c$ D、 $b < a < c$

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5、已知关于 $x$ 的方程 $|a x + 3| = - a x^{2} - 6 x - a$ 有两个不相等的实数解，则正实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 3)$ B、 $(0, \frac{9}{2})$ C、 $[1, 5)$ D、 $[2, 6 \sqrt{3})$

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6、已知矩形 $A B C D$ 的两个顶点 $A, D$ 在 $x$ 轴上，另两个顶点 $B, C$ 在函数 $y = 4 - x^{2} (- 2 < x < 2)$ 的图象上，则当矩形 $A B C D$ 的面积最大时， $|A B| =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{8}{3}$

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7、设 $a, b \in R$ ，则使 $a > b$ 成立的一个充分不必要条件是（）

A、 $a^{3} > b^{3}$ B、 $lg (a - b) > 0$ C、 $a^{2} > b^{2}$ D、 $|a| > b$

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8、设函数 $f (x) = \{\begin{cases} 2^{- x}, x \leq 0 \\ {log}_{\frac{1}{3}} x, x > 0 \end{cases}$ ，若 $f (t) > 2$ ，则 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (0, \frac{1}{9})$ B、 $(- \infty, - 1) \cup (\frac{1}{9}, 1)$ C、 $(- 1, \frac{1}{9})$ D、 $(- \infty, \frac{1}{9})$

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9、已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 不是偶函数，则（）

A、 $\forall x \in R, f (- x) + f (x) \neq 0$ B、 $\forall x \in R, f (- x) - f (x) \neq 0$ C、 $\exists x_{0} \in R, f (- x_{0}) + f (x_{0}) \neq 0$ D、 $\exists x_{0} \in R, f (- x_{0}) - f (x_{0}) \neq 0$

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10、已知 $\frac{π}{4} < α < β < \frac{π}{2}$ ，则 $2 α - 2 β$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ B、 $(- \frac{π}{2}, 0)$ C、 $(- π, π)$ D、 $(- π, 0)$

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11、已知集合 $A = \{x \in Z |- 5 < x^{3} < 10\}, B = \{x |y = ln (x + 1)\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1, 2\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$

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12、已知函数 $f (x) = \sqrt{2} cos (2 x + \frac{5 π}{4})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的一个对称中心为 $(\frac{3}{8} π, 0)$ B、 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{3 π}{8}$ 个单位长度后得到的是奇函数的图象 C、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{5 π}{8}, \frac{7 π}{8}]$ 上单调递增 D、若 $y = f (x)$ 在区间 $(0, m)$ 上与 $y = 1$ 有且只有6个交点，则 $m \in (\frac{5 π}{2}, \frac{13 π}{4}]$

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13、若复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = - 3 + i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $|z|$ 等于（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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14、若 $a + 2 \in \{1, 3, a^{2}\}$ ，则a的值为（）

A、 $- 1$ 或1或2 B、 $- 1$ 或1 C、 $- 1$ 或2 D、2

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15、已知函数 $f (x) = x \ln x + k x, k \in R$ .
（1）求 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；
（2）若不等式 $f (x) \leq x^{2} + x$ 恒成立，求k的取值范围；
（3）求证：当 $n \in N^{*}$ 时，不等式 $\sum_{i = 1}^{n} \ln (4 i^{2} - 1) > \frac{2 n^{2} - n}{2 n + 1}$ 成立.

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16、已知函数 $f (x) = e^{x} (x + 1)$ .
（1）求函数 $f (x)$ 的极值；
（2）若函数 $g (x) = f (x) - 3 e^{x} - m$ 有两个零点，求实数 $m$ 的取值范围.

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17、在公差为2的等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} + 1$ ， $a_{2} + 2$ ， $a_{3} + 4$ 成等比数列.
（1）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\{a_{n} - 2^{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18、二十四节气歌是古人为表达人与自然宇宙之间独特的时间观念，科学揭示天文气象变化规律的小诗歌，它蕴含着中华民族悠久文化内涵和历史积淀，体现着我国古代劳动人民的智慧其中四句“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中每句的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气．若从24个节气中任选2个节气，则这2个节气恰好不在一个季节的概率为．

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19、 ${(1 + x)}^{5} {(1 - \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中的 $x$ 项的系数等于____________ .

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20、已知函数 $f (x)$ 的定义域为R ，且 $f (x + y) f (x - y) = f^{2} (x) - f^{2} (y), f (1) = 2, f (2) = 0$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (3) = - 2$ C、 $f (- 1) = f (5)$ D、 $\sum_{k = 2}^{2024} f (k) = - 2$

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