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相关试卷

1、已知椭圆 $M : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ， A， $B$ 分别为椭圆的左顶点和上顶点， $F_{1}$ 为左焦点，且 $△ A B F_{1}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $M$ 的标准方程：

(2)、设椭圆 $M$ 的右顶点为 $C$ 、 $P$ 是椭圆 $M$ 上不与顶点重合的动点．
①若点 $P (1, \frac{3}{2})$ ，点 $D$ 在椭圆 $M$ 上且位于 $x$ 轴下方，设 $△ A P C$ 和 $△ C D P$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，若 $S_{1} - S_{2} = \frac{3}{2}$ ，求点 $D$ 的坐标；
②若直线 $A B$ 与直线 $C P$ 交于点 $Q$ ，直线 $B P$ 交 $x$ 轴于点 $N$ ，如下图，求证： $2 k_{Q N} - k_{Q C}$ 为定值，并求出此定值（其中 $k_{Q N}$ 、 $k_{Q C}$ 分别为直线 $Q N$ 和直线 $Q C$ 的斜率）．

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2、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中

(1)、若 $E, F$ 分别为 $A_{1} B$ 和 $C C_{1}$ 的中点，求证： $E F //$ 平面 $A B C D$

(2)、求二面角 $C_{1} - B D - C$ 的正切值

(3)、如图， $O$ 为 $B D$ 的中点，问：在棱 $A A_{1}$ 上是否存在一点 $M$ ，使平面 $M B D ⊥$ 平面 $O C_{1} D_{1}$ ？如果存在，求出 $A M : M A_{1}$ 的值；如果不存在，请说明理由．

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3、如图， $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a sin C + \sqrt{3} a cos C - \sqrt{3} (b + c) = 0$ ， $D$ 为线段 $B C$ 上一点，且 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $A D = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值；

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4、2023年国庆节假期期间，某超市举行购物抽奖赢手机的活动．活动规则如下：在2023年9月29日至10月6日期间消费金额（单位：元）不低于100元的顾客获得一张奖券（假设每名顾客只消费一次），奖券尾数随机生成，尾数为奇数和偶数的奖券数量相同，若顾客的奖券尾数为奇数，则获得一份价值5元的礼品，若顾客的奖券尾数为偶数，则获得抽取价值6999元的手机的资格．根据统计，顾客进入该超市消费金额的频率分布直方图如图所示．
以样本估计总体，以频率估计概率．

(1)、若有1000名购物的顾客，求送出的礼品的价值金额；

(2)、若超市计划投入的活动经费（购买手机的费用与发放的购物券金额总和）不超过顾客消费总金额的10%（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），求每1000名顾客最多送出多少部手机．

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5、某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC，遮阳篷是一个直角边长为8的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC与地面所成的角大小为时，所遮阴影面ABC＇面积达到最大

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6、由数学王子高斯证明出的代数基本定理的内容可知一元 $n$ 次多项式方程有 $n$ 个复数根，且对于一元二次方程，其两个复数根互为共轭复数．若复数 $z = 2 i - 3$ 是一元二次方程 $2 x^{2} + p x + q = 0$ 的一个根，则 $p + 2 q =$ ．

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7、定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ ，对任意 $x, y \in R, f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y)$ ，且 $f (x)$ 不恒为0，下列说法中正确的有（）

A、 $f (0) = 1$ B、 $f (x)$ 为偶函数 C、 $f (x) + f (0) \geq 0$ D、若 $f (1) = 0$ ，则 $\sum_{i = 1}^{2024} f (i) = 4048$

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8、如图，矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $B C$ 的中点， $F$ 为 $A D$ 的中点， $C F$ 交 $D E$ 于点 $H$ ，将 $△ B A E$ 沿直线 $A E$ 翻折到 $△ P A E$ ，连接 $P D, G$ 为 $P D$ 的中点，则在翻折过程中，下列合题中正确的是（）

A、翻折过程中，始终有平面 $P A E //$ 平面 $G F C$ B、翻折过程中， $C G$ 的长是定值 C、若 $A B = B E$ ，则 $A E ⊥ E D$ D、存在某个位置，使得 $C G ⊥ A P$

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9、实验 $E$ ：甲、乙、丙三名同学各自从 $M$ 、 $N$ 、 $K$ 中选了一个字母（不可重复）.记事件 $A$ 为“乙同学选字母 $K$ ”，事件 $B$ 为“甲同学没有选字母 $N$ ”，则下列正确的有（）

A、 $P (A) = \frac{1}{3}$ B、 $P (B) = \frac{1}{3}$ C、 $P (A \cap B) = \frac{1}{6}$ D、 $P (A \cup B) = \frac{1}{2}$

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10、2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道.已知火箭的最大速度 $v$ （单位： $km/s$ ）与燃料质量 $M$ （单位： $kg$ ）、火箭（除燃料外）的质量 $m$ （单位： $kg$ ）的函数关系为 $v = 2 \ln (1 + \frac{M}{m})$ .若已知火箭的质量为 $3100 kg$ ，火箭的最大速度为 $11 km/s$ ，则火箭需要加注的燃料质量为（）（参考数值： $\ln 2 \approx 0.69, \ln 244.69 \approx 5.50$ ，结果精确到 $0.01 t, 1 t = 1000 kg$ ）

A、 $890.23 t$ B、 $755.44 t$ C、 $244.69 t$ D、 $243.69 t$

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11、为了得到 $y = sin 2 x + cos 2 x$ 的图象，只要把 $y = \sqrt{2} cos 2 x$ 的图象上所有的点（）

A、向右平行移动 $\frac{π}{8}$ 个单位长度 B、向左平行移动 $\frac{π}{8}$ 个单位长度 C、向右平行移动 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 D、向左平行移动 $\frac{π}{4}$ 个单位长度

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12、函数 $f (x) = \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}$ 的图象是下列的（）

A、 B、 C、 D、

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13、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = 2, \vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则 $|2 \vec{a} - \vec{b}|$ 的值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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14、设函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $|f^{'} (x)| \leq 1$ 对任意 $x \in D$ 恒成立，则称函数 $f (x)$ 在区间 $D$ 上的“一阶有界函数”．

(1)、判断函数 $f (x) = sin x$ 和 $g (x) = e^{x}$ 是否为 $R$ 上的“一阶有界函数”，并说明理由；

(2)、若函数 $f (x)$ 为 $R$ 上的“一阶有界函数”，且 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，设 $A$ ， $B$ 为函数 $f (x)$ 图象上相异的两点，直线 $A B$ 的斜率为 $k$ ，试判断“ $0 < k \leq 1$ ”是否正确，并说明理由；

(3)、若函数 $h (x) = e^{x} + a x^{3} - e x^{2} - (a - 1) x$ 为区间 $[0, 1]$ 上的“一阶有界函数”，求 $a$ 的取值范围．

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15、如图，已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $P (3, 1)$ ，焦距为 $4 \sqrt{2}$ ，斜率为 $- \frac{1}{3}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于异于点 $P$ 的 $M, N$ 两点，且直线 $P M, P N$ 均不与 $x$ 轴垂直.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若 $M N = \sqrt{10}$ ，求 $M N$ 的方程；

(3)、记直线 $P M$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $P N$ 的斜率为 $k_{2}$ ，证明： $k_{1} k_{2}$ 为定值.

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16、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A ⊥ P D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $P A = P D$ ， $A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $A C = C D = \sqrt{5}$ .

(1)、求证： $P D ⊥$ 平面 $P A B$ .

(2)、求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值.

(3)、在棱 $P A$ 上是否存在点 $M$ ，使得 $B M //$ 平面 $P C D$ ?若存在，求出 $\frac{A M}{A P}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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17、已知 $\vec{a} = (- 1, 2 \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (\sin^{2} x - \cos^{2} x, \sin x \cos x)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式及对称中心；

(2)、若 $f (\frac{π}{12} + \frac{α}{2}) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $\cos α + \cos (α - \frac{π}{3})$ 的值；

(3)、在锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若 $b = \sqrt{3}$ ， $f (B) = 1$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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18、某学校食堂有 $A, B$ 两家餐厅，张同学第1天选择 $A$ 餐厅用餐的概率为 $\frac{1}{3}$ ．从第2天起，如果前一天选择 $A$ 餐厅用餐，那么次日选择 $A$ 餐厅用餐的概率为 $\frac{3}{4}$ ；如果前一天选择 $B$ 餐厅用餐，那么次日选择 $A$ 餐厅用餐的概率为 $\frac{1}{2}$ ．设他第 $n$ 天选择 $A$ 餐厅用餐的概率为 $P_{n}$ ．

(1)、求 $P_{2}$ 的值及 $P_{n + 1}$ 关于 $P_{n}$ 的表达式；

(2)、证明数列 $\{P_{n} - \frac{2}{3}\}$ 是等比数列，并求出 $\{P_{n}\}$ 的通项公式．

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19、函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} + x - 2 \ln x - \ln a (x > 0)$ 满足 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是.

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20、如图，半椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (x \geq 0)$ 与半椭圆 $\frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{x^{2}}{c^{2}} = 1 (x < 0)$ 组成的曲线称为“果圆”，其中 $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ ， $a > 0$ ， $b > c > 0$ .“果圆”与x轴的交点分别为 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ ，若在“果圆”y轴右侧部分上存在点P使得 $∠ A_{1} P A_{2} = \frac{π}{2}$ ，则 $\frac{c}{a}$ 的取值范围为.

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